Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 [168] 169 170 171 172 173 174

at = Psi (О : + • • • + Psn (О х„ + д (t) u\{t,x.....х„) +

+ ••• +9.Д0«?(. дг,, ...,дг„) + фД,дг1, ...,дг„)

(114.19)

(5=1,

Здесь функции фЛ. Xl.....дг„) =

= 1.....

удовлетворяют неравенству

1фЛ. Xl.....a;„)<i{Ui +

Л1 = Л(1+у)

a\{t. дг,, дг„), «о(, дг,.....х„))

+ \х„\\, (114.20)

v= max

/=1. г; t>Q

Невозмущенное движение дг = 0 системы (114.19) асимтотически устойчиво вследствие теоремы I из § 88, если только постоянная А достаточно мала. В самом деле, для системы первого приближения. (114.18) существует функция Ляпунова Vit, Хр .... х„), удовлет-

Подставляя Uj = u°j(t, .....дг) в уравнения (114.17), получим

линейную систему с переменными коэффициентами

- = Psl(.t)Xi+ ... +Psnit)Xn +

+ 9„(0«?(- 1.....«)+ ••• ,.....(114.18)

(5=1.....п).

По построению управляющих воздействий u)(t, .....х невозмущенное движение дг = О системы (114.18) асимптотически устойчиво. Более того, для системы (114.18) можно указать допускающую бесконечно малый высший предел определенно-положительную функцию

Ляпунова V(t, Xl.....дг„), имеющую определенно отрицательную

производную в силу уравнений (114.18). В качестве такой функции V можно выбрать оптимальную функцию Ляпунова У (, дг,, х„), существование которой обеспечивается теоремой 2 из § 112.

Выберем теперь в нелинейной системе (114.1) в качестве управляющих воздействий Uj величины u°j(t, дг,.....дг) (114.17). Подставив Uj=:u.(t, дг,, дг) в уравнения (114.1), получим нелинейные уравнения возмущенного движения:



) См. сноски на стр. 492.

Боряющая теореме II об асимптотической устойчиБОСти, и имеет место оценка (114.20). Отсюда следует спраБсдлиБость теоремы 2.

Итак, мы указали достаточные условия разрешимости задачи I о стабилизации нелинейной системы (114.1) по первому приближению (114.2).

Вопрос о решении задачи II об оптимальной стабилизации системы (114.1) по первому приближению решается аналогичным образом. Мы приведем здесь лишь формулировку результатов. Доказательство этих результатов можно найти в работах Э. Г. Альбрехта и В. И. Зубова 1).

Рассмотрим снова систему уравнений (114.1), где будем предполагать, что функции разлагаются в области (114.2) в ряды по степеням лг и Uj с коэффициентами, являющимися непрерывными и ограниченными функциями времени t. Предполагаем, как всегда, что эти разложения начинаются с членов, порядок которых не ниже второго.

Для системы (114.1) рассмотрим задачу II об оптимальной стабилизации при условии минимума интеграла

/= f(i)(t, xi(t).....x„it), u,(t). .... u,{t))dt, (114.21)

где функция Q также предполагается аналитической функцией величин х и Uj, т. е. разлагается в ряд по степеням этих величин с непрерывными и ограниченными коэффициентами.

По смыслу задачи об оптимальной стабилизации функцию ю целесообразно выбирать в виде определенно-положительной функции от х и Uj. Поэтому можно предполагать, что разложение функции ю в ряд начинается с четных степеней х и Uj. В соответствии с этим обсудим случаи, когда функция ю имеет разложение

ю(. 1.....лг„; «1.....и,) =

= 2»<*Ч 1.....х„; й,.....и,), (114.22)

ft = 2

где 0<* - формы переменных и Uj. При этом полагаем, что первый член (1)<2 разложения (114.22) является определенно-положительной функцией вида

0(2)= 2 ijXiXj S Mi"/ (114.23)



т. е. формы

предполагаются определенно-положительными.

Допустим, что система уравнений первого приближения удовлетворяет условиям теоремы 1 (стр. 497) в случае установившегося невозмущенного движения х = 0, или условиям теоремы 2 в случае неустановившегося движения х = 0 (стр. 499). Тогда согласно теоремам 1 и 2 § 112 задача И об оптимальной стабилизации линейных систем (114.4) при условиях минимума интеграла (114.5) от квадратичных форм (114.22) имеет решение вида

„o Vi.x,+ ... +v„x„. (114.24)

Оказывается, что в таких случаях задача II об оптимальной стабилизации нелинейной системы (114.1) при условии минимума интеграла (114.21) с функцией « общего вида (114.22) также имеет решение. При этом оптимальное управление aj. (/", х,.....х такой

задачи представляется в виде рядов

1.....2 <Ч 1..... п) (114.25)

а-=1,.... г),

которые сходятся при всех достаточно малых значениях х.

Здесь up(t, X,.....представляют собой линейные формы

tt(I) = V,.X,+ ... +v„x„.

совпадающие с оптимальным управлением (114.24), решающим задачу (114.1). (114.21) в первом приближении. Коэффициенты форм «(?)(f, Xj, х при А2 определяются из некоторых систем линейных уравнений. В случае постоянных pj, Qsj ij- Р»-/ эти уравнения оказываются алгебраическими. В общем случае переменных Psj{t) Qsjity Р (0 эти уравнения являются обыкновенными

дифференциальными уравнениями. Область сходимости рядов (114.25) определяется коэффициентами и свойствами линейной системы (114.18).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 [168] 169 170 171 172 173 174



0.0014