Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [169] 170 171 172 173 174

ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА.

К стр. 18. Большое число исследований было посвящено в последнее время задачам об асимптотической устойчивости, где область начальных возмущений х{(о), для которых должно выполняться условие (3.5), нельзя считать малой. Такие задачи изучены, например, в работах: Еругин Н. П., Качественное исследование интегральных кривых системы дифференциальных уравнений. ПММ, т. 14, вып. 5, 1950; О некоторых вопросах теории устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений. ПММ, т. 14, вып. 6, 1950; Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, Гостехиздат, 1951; Малкин И. Г., Об устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. 16, вып. 4, 1952; Барбашин Е. А., Об устойчивости решения одного нелинейного уравнения третьего порядка. ПММ, т. 16, вып. 5, 1952; Летов А. М., Устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования, Гостехиздат, 1955; Зубов Б. И., Методы А. М. Ляпунова и их применение, Изд. ЛГУ, 1957; Плисе В. А., Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом. Изд. ЛГУ, 1958; Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р., Абсолютная устойчивость регулируемых систем. Изд. АН СССР, 1963.

В подобных случаях приобретает особенное значение оценка области (3.3) тех начальных возмущений xito), для которых выполняется предельное соотношение (3.5). В соответствии с этим оказывается полезным дополнить определение асимптотической устойчивости следующим образом.

(а) Пусть О - некоторая, наперед заданная область изменения переменных х, в которой по условиям задачи могут лежать значения (о) начальных возмущений. Тогда невозмущенное движение Xg~0 называется асимптотически устойчивым в большом, если это движение устойчиво и если условие (3.5) выполняется для всех Xgito) из области О.

В частности, область О может быть определена неравенствами

\x,(to)\N,

где N - заданное число.



Если В изучаемой реальной системе начальные возмущения х(о) могут оказаться весьма большими и их трудно или нецелесообразно заранее оценивать каким-либо числом N, то оказывается полезным следующее определение.

ф) Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым в целом, если это движение устойчиво и если условие (3.5) выполняется для любых начальных возмущений Xs(to), как бы велики они ни были.

Отметим еще, что свойство устойчивости, выражаемое неравенствами (3.3) и (3.4), не следует, вообще говоря, из условия (3.5) даже в случае, когда в уравнениях (3.2) функции не зависят явно от времени t. Именно, можно построить пример, когда условие (3.5) выполняется для всех начальных возмущений х(о) ™ невозмущенное движение х = 0 неустойчиво. Подобная ситуация рассмотрена, например, в работе: Красовский Н. Н., Об устойчивости решений системы двух дифференциальных уравнений. ПММ, т. 17, вып. 6, 1953.

К стр. 21. Приведенное определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях является наиболее употребительным. В исследованиях, однако, встречались некоторые модификации этого определения, учитывающие дополнительные обстоятельства. Данное определение требует малости возмущений в каждый момент вре-/ мени t. Однако возможны случаи, когда возмущения R в отдельные моменты достигают немалой величины, оставаясь значительную часть времени достаточно малыми. В таких случаях может оказаться полезным следующее определение.

(у) Невозмущенное движение у = /(0 устойчиво при постоянно действующих воз.чущенаях малых в среднем (на интервале Т), если для всякого положительного числа е, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа Til (е) « ii) таких, что всякое решение yit) уравнений (4.1), удовлетворяющее при t = tg неравенствам

у.(о)-Л(о)1<П1(Е).

удовлетворяет при ttg неравенствам

IУ.(О-Л(О К е.

каковы бы ни были функции R(t, у у„), удовлетворяющие при t>to для всех постоянных о,, = у -/,(1), а<8 неравенствам

t + T

j IRAi Ух yn)\dt<i{z), t



Здесь Т - положительное число, выбранное в меру большим для того, чтобы в изучаемой системе отдельные всплески возмущений

Rg(t, Ух (О.....Уя(0) компенсировались в среднем малостью их

на большей части интервала {t, t-T). Задача об устойчивости при возмущениях, малых в среднем, изучалась, например, И. Вркочем (Интегральная устойчивость, Чехослов. матем. журнал, т. 9, № 1, 1959) и В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовским (Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, ПММ, т. 21, вып. 6, 1957).

Были исследованы также аналогичные задачи об устойчивости при малых запаздываниях воздействий и сигналов в системах, описываемых уравнениями вида (2.1) и уравнениями с запаздывающим аргументом (см., например, работу: Репин Ю. М., Об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом. ПММ, т. 21, вып. 2, 1957).

Е. А. Барбашиным была поставлена и исследована задача об осуществлении программного движения = Д(/) при импульсных возмущениях (см. работы: О построении периодических движений. ПММ, т. 25, вып. 2, 1961; Программное регулирование систем со случайными параметрами. ПММ, т. 25, вып. 5, 1961).

Были изучены некоторые задачи об устойчивости при случайных возмущениях с известными вероятностными характеристиками (см., например, работы: Кац И. Я., Красовский Н. Н., Об устойчивости систем со случайными параметрами. ПММ, т. 24, вып. 5, 1960; Хасьминский Р. 3., Об устойчивости траекторий марковских процессов. ПММ, т. 26, вып. 6, 1962).

Это перечисление ни в коей мере не претендует на полноту. Из весьма большого числа исследований, посвященных рассматриваемым вопросам, мы ограничились лишь упоминанием отдельных работ.

Все упомянутые задачи обладают общим свойством, отмеченным выше в монографии для основного определения устойчивости при постоянно действующих возмущениях R, а именно справедливы следующие утверждения:

1) В практически интересных случаях эти задачи приводятся к проблеме устойчивости по Ляпунову.

2) Асимптотическая устойчивость движения х = 0 является достаточным условием его устойчивости при постоянно действующих возмущениях описанных типов (по крайней мере для установившихся и периодических невозмущенных движений).

3) Для исследования новых задач устойчивости при различных возмущениях R пригодны классические методы теории Ляпунова, модернизированные в соответствии с особенностями этих задач.

К стр. 26. Первый метод А. М. Ляпунова позволил ему получить ряд весьма глубоких и важных результатов. В качестве примера отметим изящную теорию условной устойчивости, развитую



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [169] 170 171 172 173 174



0.0012