§ l9] УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 59

Все эти решения независимы. Последнее из них совпадает с (19.5). Мы будем говорить, что в рассматриваемом случае кратному корню к; отвечает одна группа решений.

Допустим теперь, что ранг определителя D(ki) меньше я-1. Пусть, например, ранг этого определителя равен я - 2, так что все миноры (я-1)-го порядка равны нулю, но хотя бы один из миноров (я- 2)-го порядка отличен от нуля. В этом случае система (19.3) допускает два частных решения вида (19.7), в которых наивысшие степени полиномов f(t) равны, соответственно, рад, причем pjq - l-2. Эти решения таковы, что если, исходя из каждого из них, составлять новые решения путем замены полиномов f{t) их производными какого-нибудь порядка, то все полученные таким образом решения будут независимы.

Пусть

суть указанные частные решения. Степени полиномов f{t) не превосходят р, причем степень хотя бы одного из них достигает этого значения. Старшая степень полиномов / равна q. При этом, как уже указывалось выше, p-\-q = l-2.

Заменяя в решениях (19.9) полиномы их последовательными производными, мы получим две группы решений уравнений (19.3), состоящих, соответственно, из j-f-l и -f-l решений каждая и имеющих вид

= (а=1. 2.....р+1).

(19.10)

Таким образом, и в рассматриваемом случае корню соответствует p-\-q-\-2 = l частных решений. Среди этих решений имеются два (по одному в каждой группе) вида (19.5). Эти решения соответствуют двум независимым системам чисел А, удовлетворяющим однородным алгебраическим уравнениям (19.6). Последние действительно имеют два независимых решения, так как ранг определителя D равен я - 2.

В общем случае, когда ранг определителя D(X,;) равен n - k, корню кратности I по-прежнему соответствует I независимых решений, но Эти решения распадаются на k групп, подобных (19.10).

Ранг определителя D не может быть меньше я - 1. В противном случае, как это легко показать, кратность корня Я будет больше /. Поэтому число групп решений, соответствующих рассматри»

) Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1946.

ваемому корню, не может превосходить числа /, т. е. кратности корня. Если число групп равно /, то каждая группа будет состоять из одного решения и все решения будут вида (19.5).

Таким образом, во всех случаях число частных решений уравнений (19.3), соответствуюших кратному корню, равно кратности этого корня. Действительное вычисление этих решений приводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Наиболее простой способ составления этих уравнений указан Н. Г. Четаевым).

Рассматривая все корни уравнения (19.4), мы получим п независимых частных решений уравнений (19.3). Обозначая эти решения

через .....(первый индекс - номер функции, второй

индекс - номер решения), мы получим обшее решение уравнений (19.3) в виде

X, = С,х,1 + С,х,, + . . . + С„х,„, (19.11)

где Су.....С„ - произвольные постоянные. Эти постоянные определяются из начальных условий и если начальные значения величин х в каком-нибудь решении малы, то и соответствуюшие значения постоянных Cj будут также малыми.

Если корень Я,; является комплексным, то решения вида (19.5) или (19.7) будут также комплексными, и так как нас интересуют только вешественные решения, то необходимо будет их преобразовать к вешественному виду. Для этого заметим, что так как коэффициенты pj являются вещественными, то если дифференциальным уравнениям (19.3) удовлетворяет какая-нибудь система комплексных функций, то им удовлетворяют также вещественные и мнимые части этих функций. Пусть Х = \1-\- iv. Тогда в решении (19.5) или (19.7) величины и Д(0 будут также комплексными. Положим А = = -f- iQ,, Л = + is- постоянные Р, и функции ф и ф будут вещественными. Выделяя в (19.5) и в (19.7) вещественные и мнимые части, мы получим, что рассматриваемому корню p-f-/v отвечают два решения: либо вида

x, = (Pcosv-Q,siпvOe х, = (P.sinvt-\-Qcosvt) ev- (19.12) либо вида

x = (фcosv - фJSiпvOe х = {<fsinvt-\-\Jpcosvt) е>. (19.13)

Эти же самые решения отвечают и корню р - iv.

Все вышесказанное позволяет легко решить задачу устойчивости для того случая, когда дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (19.3). Действительно, характер невозмущенного движения, его устойчивость или неустойчивость, полностью определяется корнями характеристического уравнения (19.4).

Допустим сначала, что все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае все рассмотренные выше частные решения независимо от того, имеют ли они вид (19.5) или (19.7), (19.12) или (19.13), стремятся к нулю при неограниченном возрастании t. То же самое будет справедливо и по отношению к общему решению (19.11), каковы бы ни были постоянные Cj. Кроме того, решения x{t), отвечающие начальным

условиям л:(о)11 будут равномерно ограничены при всех ttQ. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически при любых начальных возмущениях.

Допустим теперь, что среди корней характеристического уравнения имеется, по крайней мере, один с положительной вещественной частью. Этому корню отвечает частное решение, неограниченно возрастающее при ->оо. Умножая все функции этого решения на постоянную С, мы снова получим решение, для которого начальные значения функций могут быть сделаны сколь угодно малыми, если С выбрать достаточно малым. Таким образом, в рассматриваемом случае система (19.3) имеет решение со сколь угодно малыми начальными значениями, неограниченно возрастающее при ->сю, и следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Допустим теперь, что характеристическое уравнение, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю. Это могут быть нулевые корни или корни чисто мнимые. Каждому нулевому корню отвечают решения вида

Xs = A,, (19.14)

если этот корень является простым или даже если он является кратным, но число групп решений равно кратности корня. В противном случае система (19.3) будет иметь решения вида

Xs = fs(0. (19.15)

где f(t) - полиномы. Для каждой пары чисто мнимых корней ± V у-1 будут получаться решения вида

x=:Pcosvt - Qsinvt. x = Psinvt-Qcosvt, (19.16)

если эти корни простые или если они кратные, но число групп решений, им соответствующих, равно их кратности. Если корни ± V ]/-1 являются кратными и число групп решений, им соответствующих, меньше их кратности, то система (19.3) будет иметь решения вида

x==9,cosv -i)jSinvf, дr, = ф,siпv-t-ф,cosv (19.17) где ф, и ф, - полиномы.