Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [170] 171 172 173 174

А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (Гостехиздат, 1950) на основе первого метода. Эти результаты послужили источником глубоких исследований более поздних авторов по теории дифференциальных уравнений и, в частности, по устойчивости движения и по проблемам теории нелинейных колебаний. Одно из достоинств данного метода состоит в том, что он работает в наиболее тонких случаях и позволяет не только указать качественную картину изучаемого явления, но и построить явный вид исследуемых решений xit).

В настоящей монографии основной упор делается на второй метод Ляпунова. Поэтому результаты теории устойчивости, связанные с первым методом, затрагиваются лишь частично.

К стр. 26. В связи с новыми задачами об устойчивости нелинейных систем и в связи с проблемами стабилизации управляемых движений в последние годы (начиная приблизительно с 1950 года) интерес ко второму методу Ляпунова весьма возрос. Исследование принципиальных математических проблем, относящихся к этому методу, а также исследование вопросов эффективного построения функций Ляпунова для прикладных задач, начатые впервые в нашей стране, были развиты в эти годы в большом числе серьезных работ советских и иностранных специалистов. При этом всестороннем исследовании были установлены универсальность и эффективность второго метода Ляпунова для широкого круга проблем, включая, например, задачи об устойчивости в целом нелинейных систем автоматического регулирования, задачи об устойчивости систем с запаздываниями воздействий во времени, задачи об устойчивости стохастических систем и т. д. Выяснилось также, что метод функций Ляпунова может быть использован для решения проблем синтеза оптимальных управляемых систем с обратной связью, так как он тесно переплетается с методами динамического программирования в теории оптимальных процессов (см. приложение IV).

К стр. 28. Данные определения свойств знакоопределенности и знакопостоянства функций V описывают поведение этих функций лишь в малой окрестности (6.3) невозмущенного движения х = 0. Этого достаточно для исследования вопросов об устойчивости, неустойчивости или об асимптотической устойчивости при достаточно малых начальных возмущениях х(о)- ПР" исследовании вторым методом Ляпунова задачи об асимптотической устойчивости в большом (см. выше примечание к стр. 18) приходится рассматривать поведение функций V в достаточно большой области О изменения переменных х, а в случае задачи об устойчивости в целом следует рассматривать V при всех значениях Ху Поэтому в таких случаях определение свойства знакопостоянства или знакоопределенности должно



сопровождаться указанием или оценкой той. области изменения х, в которой выполняется соответствующее свойство.

К стр. 38. Теорема б может быть обобщена на случаи асимптотической устойчивости в большом и в целом (см. примечание к стр. 18). Это обобщение достигается за счет введения в формулировку теоремы оценок, характеризующих область асимптотической устойчивости. Таким путем получаются следующие критерии асимптотической устойчивости.

Теорема б;. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти функцию V(Xi, х„), знакоопределенную в области

\xA<Q. (10.5)

полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция, также знакоопределенная в этой области, знака, противоположного с V, причем выполняется неравенство УИу < Отд, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в большом относительно начальных возмущений х(о) области

Здесь символ Отд означает точный нижний предел функции

\ViXi,---- х„)1 при условии x = Q (x = max(Xi.....\xj)),

символ Мдг означает точный верхний предел функции \ V(Xi.....х„)

при x = N. Предполагается, естественно, что N< Q.

Читателю, внимательно разобравшему доказательство теоремы б, смысл неравенства < OTq в формулировке теоремы б; должен быть ясен, и он сможет сам провести доказательство теоремы б, по тому же плану, по которому проведено выше доказательство теоремы б. Достаточный критерий устойчивости в целом формулируется следующим образом.

Теорема Bj. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти определенно-положительную функцию ViXi, х„), полная производная по времени которой, составленная в силу этих уравнений, есть при всех х функция определенно-отрицательная, и если при этом

limV(Xi, .... х„) = оо,

то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.

Смысл последнего условия \\mV = oo состоит в следующем: при этом условии для любого числа N можно подобрать число N, удовлетворяющее неравенству уИд, < OTq. Но тогда справедливость



фигурирующему в теореме Bj (см. примечание к стр. 38), указывающей достаточные условия устойчивости в целом. Отметим, кстати, что для линейных систем асимптотическая устойчивость в целом является очевидным следствием асимптотической устойчивости относительно начальных возмущений xit) из малой окрестности невозмущенного движения х = 0.

К стр. 70. Необходимые и достаточные; условия существования функции V (Хр . . ., х„), удовлетворяющей условиям теоремы В в предположении неустойчивости установившегося движения х = 0. заключаются в следующем: достаточно малая окрестность х<т1 точки х = 0 не должна содержать целиком движений х(0(-оо < < f < оо), отличных от невозмушенного движения х = 0. Доказательство этого утверждения можно найти в книге: Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959, стр. 43. В рассмотренном в данном параграфе примере указанное условие не выполняется, так как в любой ок-

теоремы выводится из теоремы Б,. Важность этого условия для задач устойчивости в целом была отмечена Н. П. Еругиным (см. работу: Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. XVI, вып. 5, 1952) и Е. А. Бар-башиным (см. работу: Барбашин Е. А., Красовский Н. Н., Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, т. 86, вып. 3, 1952).

К стр. 47. Дополнительное условие (12.9) не является стеснительным, так как всегда можно предполагать, что характеристики /(о) реальных систем этому условию удовлетворяют. Кроме того, следует иметь в виду, что теорема Bj является достаточным критерием устойчивости. Поэтому дополнительное условие (12.9) является в подобных случаях достаточным, но отнюдь не необходимым условием устойчивости в целом. Детальный анализ рассмотренной в этом параграфе задачи А. И. Лурье, учитывающий многие исследования этой проблемы, выполненные в последнее время, содержится в книге М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера, упомянутой выше в примечании к стр. 18. Отметим еще, что исследование данной задачи А. И. Лурье занимает большое место в монографии А. М. Летова, посвященной нелинейным регулируемым системам (см. также примечание к стр. 18).

К стр. 68. Функция V удовлетворяет, естественно, и дополнительному условию

limV(Xi.....х„) = оо.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [170] 171 172 173 174



0.1035