А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (Гостехиздат, 1950) на основе первого метода. Эти результаты послужили источником глубоких исследований более поздних авторов по теории дифференциальных уравнений и, в частности, по устойчивости движения и по проблемам теории нелинейных колебаний. Одно из достоинств данного метода состоит в том, что он работает в наиболее тонких случаях и позволяет не только указать качественную картину изучаемого явления, но и построить явный вид исследуемых решений xit).

В настоящей монографии основной упор делается на второй метод Ляпунова. Поэтому результаты теории устойчивости, связанные с первым методом, затрагиваются лишь частично.

К стр. 26. В связи с новыми задачами об устойчивости нелинейных систем и в связи с проблемами стабилизации управляемых движений в последние годы (начиная приблизительно с 1950 года) интерес ко второму методу Ляпунова весьма возрос. Исследование принципиальных математических проблем, относящихся к этому методу, а также исследование вопросов эффективного построения функций Ляпунова для прикладных задач, начатые впервые в нашей стране, были развиты в эти годы в большом числе серьезных работ советских и иностранных специалистов. При этом всестороннем исследовании были установлены универсальность и эффективность второго метода Ляпунова для широкого круга проблем, включая, например, задачи об устойчивости в целом нелинейных систем автоматического регулирования, задачи об устойчивости систем с запаздываниями воздействий во времени, задачи об устойчивости стохастических систем и т. д. Выяснилось также, что метод функций Ляпунова может быть использован для решения проблем синтеза оптимальных управляемых систем с обратной связью, так как он тесно переплетается с методами динамического программирования в теории оптимальных процессов (см. приложение IV).

К стр. 28. Данные определения свойств знакоопределенности и знакопостоянства функций V описывают поведение этих функций лишь в малой окрестности (6.3) невозмущенного движения х = 0. Этого достаточно для исследования вопросов об устойчивости, неустойчивости или об асимптотической устойчивости при достаточно малых начальных возмущениях х(о)- ПР" исследовании вторым методом Ляпунова задачи об асимптотической устойчивости в большом (см. выше примечание к стр. 18) приходится рассматривать поведение функций V в достаточно большой области О изменения переменных х, а в случае задачи об устойчивости в целом следует рассматривать V при всех значениях Ху Поэтому в таких случаях определение свойства знакопостоянства или знакоопределенности должно

сопровождаться указанием или оценкой той. области изменения х, в которой выполняется соответствующее свойство.

К стр. 38. Теорема б может быть обобщена на случаи асимптотической устойчивости в большом и в целом (см. примечание к стр. 18). Это обобщение достигается за счет введения в формулировку теоремы оценок, характеризующих область асимптотической устойчивости. Таким путем получаются следующие критерии асимптотической устойчивости.

Теорема б;. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти функцию V(Xi, х„), знакоопределенную в области

\xA<Q. (10.5)

полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция, также знакоопределенная в этой области, знака, противоположного с V, причем выполняется неравенство УИу < Отд, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в большом относительно начальных возмущений х(о) области

Здесь символ Отд означает точный нижний предел функции

\ViXi,---- х„)1 при условии x = Q (x = max(Xi.....\xj)),

символ Мдг означает точный верхний предел функции \ V(Xi.....х„)

при x = N. Предполагается, естественно, что N< Q.

Читателю, внимательно разобравшему доказательство теоремы б, смысл неравенства < OTq в формулировке теоремы б; должен быть ясен, и он сможет сам провести доказательство теоремы б, по тому же плану, по которому проведено выше доказательство теоремы б. Достаточный критерий устойчивости в целом формулируется следующим образом.

Теорема Bj. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти определенно-положительную функцию ViXi, х„), полная производная по времени которой, составленная в силу этих уравнений, есть при всех х функция определенно-отрицательная, и если при этом

limV(Xi, .... х„) = оо,

то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.

Смысл последнего условия \\mV = oo состоит в следующем: при этом условии для любого числа N можно подобрать число N, удовлетворяющее неравенству уИд, < OTq. Но тогда справедливость

фигурирующему в теореме Bj (см. примечание к стр. 38), указывающей достаточные условия устойчивости в целом. Отметим, кстати, что для линейных систем асимптотическая устойчивость в целом является очевидным следствием асимптотической устойчивости относительно начальных возмущений xit) из малой окрестности невозмущенного движения х = 0.

К стр. 70. Необходимые и достаточные; условия существования функции V (Хр . . ., х„), удовлетворяющей условиям теоремы В в предположении неустойчивости установившегося движения х = 0. заключаются в следующем: достаточно малая окрестность х<т1 точки х = 0 не должна содержать целиком движений х(0(-оо < < f < оо), отличных от невозмушенного движения х = 0. Доказательство этого утверждения можно найти в книге: Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959, стр. 43. В рассмотренном в данном параграфе примере указанное условие не выполняется, так как в любой ок-

теоремы выводится из теоремы Б,. Важность этого условия для задач устойчивости в целом была отмечена Н. П. Еругиным (см. работу: Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования. ПММ, т. XVI, вып. 5, 1952) и Е. А. Бар-башиным (см. работу: Барбашин Е. А., Красовский Н. Н., Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, т. 86, вып. 3, 1952).

К стр. 47. Дополнительное условие (12.9) не является стеснительным, так как всегда можно предполагать, что характеристики /(о) реальных систем этому условию удовлетворяют. Кроме того, следует иметь в виду, что теорема Bj является достаточным критерием устойчивости. Поэтому дополнительное условие (12.9) является в подобных случаях достаточным, но отнюдь не необходимым условием устойчивости в целом. Детальный анализ рассмотренной в этом параграфе задачи А. И. Лурье, учитывающий многие исследования этой проблемы, выполненные в последнее время, содержится в книге М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера, упомянутой выше в примечании к стр. 18. Отметим еще, что исследование данной задачи А. И. Лурье занимает большое место в монографии А. М. Летова, посвященной нелинейным регулируемым системам (см. также примечание к стр. 18).

К стр. 68. Функция V удовлетворяет, естественно, и дополнительному условию

limV(Xi.....х„) = оо.