Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 [171] 172 173 174

рестности точки = О содержатся положения равновесия = с, отличные от этой точки.

К стр. 89. При применении более гибкого способа построения функции Ляпунова У(х, у), включающей, помимо квадратичных членов, слагаемые вида

ffil)db

для задач, подобных рассматриваемой здесь, получаются более общие достаточные условия устойчивости в целом, весьма близкие к необходимым условиям (см. дополнение I). Однако такой метод построения функций Ляпунова V, естественно, выходит за рамки классической теории устойчивости движения по первому приближению, рассматриваемой в этой главе.

К стр. 109. В этом случае система (28.6) допускает голоморфный интеграл - семейство инвариантных поверхностей

x = /(xi, Х2. .... х„. С), /(О, о.....0) = 0,

на каждой из которых имеется особая точка х = с, х = (с), 5=1, 2.....п (см. Ляпунов А. М.., Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, 1950). Расположение траекторий системы (28.6) при л = 2 на произвольной поверхности х = /(х Xj, с) для достаточно малого с в окрестности точки х = с, х = (с), 5=1, 2 выяснено в работе Б. Н. Скачкова (Вестник ЛГУ, № 8, 1954).

К стр. 126. Проблема центра и фокуса до последнего времени продолжает оставаться одной из основных задач качественной и аналитической теорий обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, отметим следующий результат. Если в системе (36.1) X и Y-многочлены от х и у фиксированной степени, то для нее число условий центра конечно (Альмухамедов М. И. Изв. физ.-матем. общества, (3), 8, Казань, 1936- 1937; 9, 1937). Эти условия найдены в явном виде для случаев: а) " = 0, Y-многочлен от X и у третьей или пятой степени (Кук л ее И. С. ДАН СССР, т. 42, № 4 и 5, 1944); б) А" и К - однородные многочлены от х и у второй степени (Сибирский К. С. Изв. АН СССР, сер. матем., Лё И, 1963); в) А и Y - однородные многочлены от х и у третьей степени (Сахарников Н. А. ПММ, т. 14, вып. 6, 1950; Малкин К. Е. Волжский матем. сб., вып. 2, 1964).

Для системы (36.1) в общем случае разработаны новые варианты записи условий центра и новые способы составления таких условий



(Кук Л ее И. С, Ну ров Т. Н. Изв. высш. учебн. заведений, Математика, № 6, 1963; Альмухамедов М. И. Уч. зап. Казанск. пед. ин-та, вып. 10, 1955; Малкин К. Е. Уч. зап. Рязанск. пед. ин-та, т. 24, 1960). Полностью решен вопрос о существовании проходящей через начало координат оси симметрии поля направлений (Сибирский К. С. ДАН СССР, т. 151, № 3, 1963).

К стр. 196. Теорема II, так же как и аналогичная теорема Б в стационарном случае, может быть обобщена на случаи асимптотической устойчивости в большом и в целом. Таким путем получается, например, следующий критерий устойчивости в целом. Будем говорить, что функция V{t, Xj.....х„) является определенно-положительной и допускает высший предел в целом, если можно указать две непрерывные функции te»(Xi.....х„), W (х.....х„) такие, что при всех значениях х выполняются неравенства

•оСл!.....x„)<U(, Xl.....Xj<W(Xi, х„).

причем функция w(Xp .... х„) определенно-положительна, кроме того,

lim«;(Xi, .. .. х„) = оо (х = max(xi, ..., х„))

WiO, 0) = 0.

Справедливо утверждение.

Теорема IIi. Если можно указать функцию V (t, х.....х„),

которая была бы определенно положительной и допускала бы

высший предел в целом, причем ее производная в силу

уравнений возмущенного движения была бы функцией определенно-отрицательной при всех значениях х, то невозмущенное движение х = 0 асимптотически устойчиво в целом.

На доказательстве этой теоремы останавливаться не будем, так как оно проводится по тому же плану, что и доказательство теоремы II с небольшими дополнениями, связанными с особенностями постановки задачи об устойчивости в целом. Эти особенности подчеркнуты выше в примечаниях к стр. 18 и 38.

К стр. 235. В последнее время уравнение (59.2), так же как и более общие случаи линейных канонических систем с периодическими коэффициентами, было подвергнуто дальнейшему подробному изучению. При этом были получены новые интересные результаты.

Теории периодических систем посвящен обзорный доклад В. М. Старжинского и В. А. Якубовича на II Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в Москве 27. I - 3. II



1964 г. (Сборник трудов II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике, Изд. АН СССР, 1965).

К стр. 306. За время, прошедшее после выхода в свет первого издания настоящей монографии, проблема существования функций

Ляпунова V {t, Xl.....л;„), удовлетворяющих условиям теорем I, II

и III, послужила предметом весьма большого числа исследований. Основной вывод, который следует из результатов этих работ, таков:

Характер поведения возмущенных движений, определенный той или иной функцией V аз классических теорем второго метода Ляпунова, является не только необходимым, но и достаточным условием существования такой функции.

При этом выяснилось, что свойства гладкости функций V могут быть намного выше, чем гладкость правых частей соответствующих уравнений возмущенного движения.

В частности, вопрос об обратимости теоремы II с достаточной полнотой был решен в работе И. Г. Малкина «К вопросу об обратимости теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости», которая составляет содержание дополнения II, приведенного в настоящем издании этой монографии. Более подробно с проблемами существования функций Ляпунова и методами исследования этих проблем читатель может ознакомиться также по работам: Барбашин Е. А., Метод сечений в теории динамических систем, Матем. сб., т. 29, вып. 2, 1951; Барбашин Е. А., Красовский Н. Н., Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, т. 86, вып. 3, 1952; О существовании функции Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом. ПММ, т. 18, вып. 3, 1954; Mas sera J. L., On Liapounolfs condition of stability. Annals of Mathematics, т. 50, № 3, 1949. Contributiono to stability theory. Annalo of Math., v. 64, № 1, 1956; Курцвейль Я., К обращению первой теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Чехосл. матем. журнал, т. 5 (80), 1955; Об обращении второй теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Чехосл. матем. журнал, т. 6 (81), № 2, 1956; Курцвейль Я.. Вркоч И., Об обращении теоремы Ляпунова об устойчивости и теоремы Персидского о равномерной устойчивости. Чехосл. матем. журнал, т. 7 (82), № 2, 1957; Зубов В. И., К теории второго метода А. М. Ляпунова. ДАН СССР, т. 99, вып. 3, 1954; Вопросы теории второго метода Ляпунова, построение общего решения в области асимптотической устойчивости. ПММ, т. 19, вып. 6, 1955; К теории второго метода А. М. Ляпунова. ДАН СССР, т. 100, вып. 5, 1955; Методы А. М. Ляпунова и их применение, Изд-во ЛГУ, 1957; Вркоч И., Обращение теоремы Четаева. Чехосл. матем. журнал, т. 5 (80), 1955; Joshizawa Т., On the stability of solutions of a system of differential equations. Memoirs of the Colledge of science. Univ. of Kyoto,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 [171] 172 173 174



0.0013