Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [172] 173 174

XXIX, № 1, ser. А, math, 1955; Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959.

Подчеркнем, что здесь упомянута лишь небольшая часть работ из обширной библиографии вопроса.

Отметим еще два обстоятельства, связанные с задачами о существовании функций Ляпунова.

1. Решение этих проблем в положительном смысле позволило продвинуть теорию устойчивости движений при постоянно действующих возмущениях. Это объясняется тем, что наличие функции Ляпунова позволяет обычно доказать сохранение соответствующих свойств при малых добавках к уравнениям возмущенного движения (см., например, материал на стр. 461-462 настоящей монографии). Таким образом, параллельно с теорией существования функций Ляпунова в последние годы существенно развилась теория устойчивости при постоянно действующих возмущениях (см. также примечание к стр. 21).

2. Методы, использованные в большинстве работ о существовании функций Ляпунова, позволяют решить вопрос лишь в принципе. Однако эти методы, как правило, мало полезны для эффективного построения функций Ляпунова в конкретных прикладных задачах.

К стр. 307. Вопрос об обратимости теорем А. М. Ляпунова и Н. Г. Четаева о неустойчивости решается следующим образом.

Функция V{t, Хр .... х„), удовлетворяющая условиям теоремы Н. Г. Четаева, существует во всех случаях неустойчивости (см. упомянутую работу И. Вркоча и монографию Н. Н. Красовского).

Теорема Ляпунова о неустойчивости (теорема В) обратима не всегда, как это уже отмечалось выше на стр. 70 (см. также примечание к этой странице). Необходимые и достаточные условия существования функции V(t, Хр .... х„), которая удовлетворяет условиям теоремы 1П, таковы:

Функция V из теоремы III сушествует тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) невозмущенное движение х = 0 неустойчиво; 2) существует число е > О такое, что каково бы ни было число !]<£, можно указзть число Г(т]) > О так, что х (Г) > е в некоторый момент времени \t* - о1< сли только е>х(о)П-Здесь x = max(xi.....\х„\)-

В частности, в случае установившегося движения х = 0, когда правые части уравнений возмущенного движения не зависят явно от t, условие 2) означает, что е-окрестность точки х = 0 не содержит целиком движений xit) (-оо < < оо), кроме самой точки х = 0. Доказательство приведенных утверждений можно найти в цитированной монографии Н. Н. Красовского.

К стр. 350. После 1952 года были построены весьма интересные примеры, показывающие, что характеристичные числа правиль-



ных систем могут оказаться неустойчивыми (см. работы: Виноград Р. Э. ПММ, т. 17, вып. 6, 1953; ДАН СССР, т. 103, № 4, 1955). Выли найдены условия устойчивости характеристичных чисел (см. работы: Виноград Р. Э. ДАН СССР, т. 119, № 4, 1958; Вылов В. Ф. Мат. сборник, т. 48, № 1, 1959). Отметим, в частности, один тонкий результат (Богданов Ю. С., О существовании аппроксимирующей последовательности для правильной линейной дифференциальной системы. Успехи матем. наук, т. XV, вып. 1, 1960), относящийся к вопросу об устойчивости характеристичных чисел правильных систем.

Пусть р - вещественная (я X я)-матрица, заданная, кусочно-непрерывная и ограниченная для вещественного аргумента О, k~\, 2, 3, ...; т означает k или отсутствие индекса; Т-безгранично возрастающая последовательность положительных чисел t,; р, - матрица-функция, совпадающая с р на интервале [О, ) и периодически продолженная вне его; 5„ - система линейных дифференциальных уравнений ~ = рх; - совокупность расположенных в порядке возрастания характеристичных чисел нормальной системы решений рассматриваемая как вектор. Последовательность Т назовем аппроксимирующей, если Х/-Х при k~oo.

К. П. Персидский (см. работу, цитированную в сноске на стр. 341) высказал следующее утверждение: если 5-правильная система, то любая последовательность Т является аппроксимирующей. Впоследствии Р. Э. Виноград (Успехи матем. наук, т. IX, вып. 2, 1954) на примере ряда систем двух уравнений показал несостоятельность этого утверждения. Оказалось, что для правильных (более того, периодических) систем, рассмотренных Р. Э. Виноградом, существуют Т, которые не являются аппроксимирующими.

Н. П. Еругин поставил вопрос: можно ли для любой правильной системы 5 указать по крайней мере одну аппроксимирующую последовательность Т. Оказалось, что: 1) существуют правильные системы, для которых на одна последовательность Т не является аппроксимирующей; 2) любая правильная двумерная система S ортогональной подстановкой переменных, коэффициенты которой зависят только от аргумента системы и верхней грани модулей элементов р, может быть преобразована к виду, при котором аппроксимирующая последовательность Т заведомо существует.

К стр. 351. Доказанная теорема допускает уточнение, которое проведено в работе: Богданов Ю. С, Замечание к § 81 моно-графиии И. Г. Малкина «Теория устойчивости движения», Гостех-теориздат, 1952. ПММ, т. 20, вып. 3, 1956.

Ниже эта работа приводится целиком.



= - lim j-ln I del A-(0, t)\.

Рассмотрим систему однородных линейных дифференциальных уравнений

Xi = РихЛ- Л-Pnin 0=1.....П) (1)

с коэффициентами p.j = pij{t), заданными, непрерывными и ограниченными для tO. Если .....Xj„, i=l..... п - фундаментальная система решений (1) с характеристичными числами решений Pj.....р,, то всегда

li;+ ••• -bli;+ •i£/(j»n-bJ»22 4 ••• -\-Pnn)dt<0. (2)

Система (1) правильна тогда и только тогда, если можно указать такую фундаментальную систему решений ее, для которой в (2) имеет место знак равенства. Если такая фундаментальная система решений существует, то она необходимо нормальная согласно Ляпунову.

Пусть X (t, x)~{xij {t, т)) - матрица, которая при фиксированном т представляет собой фундаментальную систему решений (1), нормированную для t = x{X(x, х) = 1), а Pj означает характеристичное число решения (1) Xj]( 0).....(Л 0).

Определение. Назовем (1) системой А, если по любому положительному у можно указать постоянное Су, не зависящее ни от t, ни от т, такое, что

f Cvexp[(Y-(x;)(-t)] (0<т<0. (3) Ixj (i, V\<\ t)] (0 < <t). (30

Именно такие системы рассматриваются в одном из разделов (§ 81) книги И. Г. Малкина. В указанном разделе доказывается, что если система (1) удовлетворяет условию (3) и правильна, то ее характеристичные числа устойчивы. Нетрудно убедиться, что верно следующее предложение. Системы А всегда правильны (следствие: характеристичные числа любой системы А устойчивы).

Доказательство. Из известных свойств фундаментальных

систем решений следует, что X {t, х) = Х~{х, 0)X(t, 0). Поэтому X\t. х) = Х{х, t), X\t, Ч) = Хф, t). Далее,

lim I \y\pndt = -Mm \n\uti X\t, Ql)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [172] 173 174



0.0059