lim J

НО defA(0, OKC>!exp(/iY+lii+ ••• (см. (3) при = 0.

т = t). Поэтому

- iTm (rMndetX(0, 0)> -«Y-M-i- ••• - M-n при t->co Число v - произвольное, значит,

, Pii at = - ~

Таким образом, для фундаментальной системы решений системы (1)

Hi+ ••• +P„+liml Г(р,1+р22+ ... +p,jrf>0. (4)

Сопоставляя (4) с соотношением (2), верным для любой фундаментальной системы решений (1), приходим к заключению, что (4) должно быть равенством, а это и доказывает правильность системы (1) - произвольной системы А (фундаментальная система решений (1), нормированная в точке =0, попутно оказалась нормальной).

Замечание 1. Условия (3) можно сформулировать, не предполагая Hi характеристичными числами системы (1), но лишь некоторыми постоянными, не зависящими ни от у, ни от т. Однако из проведенных рассуждений ясно, что ничем другим как характеристичными числами системы (1) р, быть не могут.

Замечание 2. Если (1) - система А, то нормальной будет любая фундаментальная система решений (1), нормированная в какой-нибудь точке t~r, поэтому, например, из р] > pj > • • • > Мп следует, что Pij == О для / < У (1, У = 1.....я).

К стр. 362. После 1952 года в теории характеристичных чисел Ляпунова получен ряд новых результатов.

Проведены глубокие исследования зависимости характеристичных чисел системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами от параметров, входящих в коэффициенты. Получены разложения характеристичных чисел в ряды по степеням параметра, найдены оценки снизу радиуса сходимости таких рядов, позволяющие эффективно оценивать погреш-.ность, возникающую при замене указанных рядов частными суммами. Все эти вопросы подробно освещены в монографии: Еругин Н. П., Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Изд. АН БССР, Минск, 1963.

Опубликованы оценки характеристичных чисел, найденные в свое время Н. Г. Четаевым (ПММ, т. 24. вып. 1. 1960") как для систем

(Сз > о, С4 > О - постоянные).

Доказательство теоремы с помощью такой функции V проводится стандартным путем.

К стр. 377. Как отмечено выше, критерии устойчивости по линейному приближению, даваемые теоремами 1-3, означают следующее. Если в случае неустановившегося движения x = 0 в линейном приближении движение х~0 асимптотически устойчиво и если при этом возмущенные движения xit, tg) линейного приближения (88.4) удовлетворяют оценке (88.5), характерной для асимптотической устойчивости линейных систем с постоянными параметрами, то имеет место асимптотическая устойчивость и полной нелинейной системы (88.1) пои условиях (88.3). В такой форме этот критерий обобщается на

общего вида, так и для систем, коэффициенты которых имеют ограниченное колебание. Указаны и другие эффективные оценки характеристичных чисел (Горбунов А. Д. Вестник МГУ, № 2, 1956).

Открыта новая характеристика системы - центральный показатель, управляющий скачками характеристичных чисел, и указаны способы вычисления этой характеристики для ряда систем (Виноград Р. Э. Матем. сб., т. 42, № 2, 1957).

Доказано, что данную систему уравнений всегда можно заменить системой с кусочно постоянными коэффициентами, причем характеристичные числа обеих систем будут совпадать (Богданов Ю. С. Матем. сб., т. 41, № 1, 1957). Предпринята попытка распространить теорию характеристичных чисел на нелинейные системы (Богданов Ю. С. ДАН СССР, т. 158, № 1, 1964).

К стр. 366. Приведенные геометрические соображения указывают путь для обоснованного аналитического доказательства теоремы, которое, строго говоря, должно дополнить эти соображения. Это подробное доказательство, однако, помимо технических деталей не содержит интересных новых моментов и здесь не приводится. Кроме того, следует иметь в виду, что возможно и другое доказательство теоремы, исходя непосредственно из существования в рассматриваемом случае функции Ляпунова V, удовлетворяющей оценке (см. монографию: Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959)

\v+m-l

где -произвольные нелинейные функции, удовлетворяющие условиям Липшица, выполняется оценка (88.5), то невозмущенное движение х = 0 асимптотически устойчиво в силу уравнений

= X,{t, Xl.....х„)-Ьф,(Л X,, х„)

при любом выборе функций ф, удовлетворяющих неравенству (88.3), если только постоянная А достаточно мала.

Это утверждение доказано в работе: Барбашин Е. А., Скалки на М. А., К вопросу об устойчивости по первому приближению. ПММ, т. 19, вып. 5, 1955.

К стр. 383. Сформулированная теорема известна под названием «принципа сведения». Этот принцип, введенный фактически А. М. Ляпуновым и лежащий в основе его метода исследования критических случаев, играет постоянно центральную роль при изучении этих случаев, фигурируя в той или иной форме почти во всех работах, посвященных им. В процессе использования принцип сведения подвергся усовершенствованию в соответствии с рассматриваемыми конкретными задачами. Заметим, в частности, что в последнее время этот принцип получил весьма существенное развитие в работах В. А. Плисса (см., например, работы: Плисе В. А., О принципе сведения в теории устойчивости движения. ДАН СССР, т. 164, № 5, 1964; О принципе сведения в теории устойчивости движения. Изв. АН СССР, Математика, т. XXVIII, № 6, 1964).

К стр. 384. Это преобразование можно использовать лишь при условии, что г 0. В самом деле, при г = О, но х., О величины становились бы бесконечно большими. В соответствии с этим ниже, если не сделано дополнительных оговорок, следует иметь в виду, что новые переменные \ используются при рассмотрении траектории х(0. yi{t) системы (91.1) лишь в такой области изменения х, у, где <;Я. Здесь Я - некоторая положительная постоянная. Область

задачи устойчивости по первому приближению и в тех случаях, когда первое приближение не является линейным, но когда в правых частях уравнений первого приближения стоят однородные формы от произвольного порядка m 1 с переменными по времени t, непрерывными и ограниченными коэффициентами (см. монографию Н. Н. Красовского в примечании к стр. 306).

Отметим еще, что выяснился следующий любопытный факт: линейность системы (88.4) не является существенной для справедливости утверждения, подобного теореме 2. Именно, если для некоторых уравнений

s =x,{U Xl.....х„).