dt dx

s = l

и поставим задачу определить форму V таким образом, чтобы выполнялось соотношение

dV dt

= S Р"" + • .. + Psnn) - V. (20.1)

Наличие решений вида (19.14) или (19.16) не нарушает устойчивости, так как все входящие в эти решения функции ограничены. Правда, при этом устойчивость не будет, очевидно, асимптотической. Наличие же решений вида (19.15) или (19.17) вызывает, очевидно, неустойчивость.

Таким образом, для случая, когда уравнения возмущенного движения имеют вид (19.3), мы приходим к следующим заключениям.

Для того чтобы не возмущенное движение было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части. Если среди корней этого у равнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво. Невозмущенное движение будет устойчивым, но не асимптотически, когда характеристическое у равнение, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю, если эти корни простые или если они кратные, но число групп решений, им соответствующих, равно их кратности. Если ха ракте ристическое у равнение имеет кратные корни с нулевыми вещественными частями и если число групп решений, соответствующих этим корням, меньше их кратности, то невозмущенное движение неустойчиво.

Таким образом, задача устойчивости для линейных уравнений с постоянными коэффициентами решается просто. Здесь нет необходимости пользоваться вторым методом. Тем не менее мы займемся построением функций Ляпунова для уравнений (19.3), так как эти функции будут играть фундаментальную роль в дальнейшем. Нам придется для этого предварительно доказать некоторые вспомогательные предложения.

§ 20. Некоторые вспомогательные предложения.

Пусть V {Ху.....л:„) - какая-нибудь форма т-го порядка. Рассмотрим производную этой формы по времени, составленную в силу уравнений (19.3), т. е. форму того же порядка:

dV \} dV

§ 20] НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 63

где % - постоянная. Коэффициенты искомой формы должны удовлетворять некоторой системе уравнений, которые мы получим, приравнивая коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях уравнения (20.1). Исследуем подробнее эти уравнения. Для этого допустим сначала, что т = \, т. е. положим

V=a,x,4- ... 4-апХп- (20.2)

Подставляя (20.2) в (20.1) и приравнивая коэффициенты при

Xi.....х„, получим следующую систему уравнений, которым должны

удовлетворять коэффициенты .....а„:

Pl2«lH-P22«2+ ••• +Рл2ал = >«2.

Для того чтобы эта система линейных однородных уравнений имела решение, отличное от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы

р„ -Я, P2I ••• Рп\

Рп Р22 - • • • Pia

Р\п Р2п •• Рпп -

обращался в нуль. Таким образом, для того чтобы уравнение (20.1) могло быть удовлетворено линейной формой, необходимо и достаточно, чтобы % было корнем характеристического уравнения. Каждому корню этого уравнения отвечает своя форма, и если характеристическое уравнение имеет п различных корней, то мы получим п различных линейных форм, удовлетворяющих уравнению (20.1).

Допустим теперь, что /те > 1. Обозначим через число членов формы т-то порядка). Этих членов будет, очевидно, столько.

Сколько существует различных систем целых неотрицательных чисел ffti, т„, связанных соотношением

mi4-m2+ ... Н-т„ = да. (20.3)

Перенумеровав все члены формы V в каком-нибудь порядке, обозначим через а, а, ..., «дг коэффициенты при этих членах. Тогда подставляя форму V в уравнение (20.1) и приравнивая коэффициенты при подобных членах в правой и левой частях этого урав-

) Число определяется формулой

/г(/г + 1) ... (/г + w-l)

нения, мы получим для определения Uj систему линейных однородных уравнений вида

Лда1 + Л;2а2Н- ••• Н-гл«л = «/ (/=1. 2, .... Л), (20.4)

где - некоторые постоянные, являющиеся линейными комбинациями коэффициентов р. Так, например, при т-2 и « = 2 система (20.4) будет иметь вид:

2pi2ai + iPn + Р22) «2 + 2p2i«3 «2-

Pl2«2+2p«3 = «3

если

Для того чтобы система (20.4) имела решение, отличное от тривиального а, = «2 = • • • = л - необходимо и достаточно, чтобы к удовлетворяло уравнению

А,,-к

Л 9,

Л22 - к

Лд,2

*1/У

= 0. (20.5)

Таким образом, для того чтобы уравнению (20.1) можно было удовлетворить формой т-то порядка, необходимо и достаточно, чтобы величина к была корнем алгебраического уравнения Л-й степени (20.5).

Между корнями уравнения (20.5) и корнями характеристического уравнения существует простая зависимость, а именно, имеет место следующая изящная теорема, принадлежащая Ляпунову.

Теорема \. Все корни у равнения (20.5) определяются формулой

к = туку-i-т2к2"ink„. (20.6)

где ку, к, ..., к„ - корни характеристического уравнения, а ту, т, т„ - любые целые неотрицательные числа, связанные соотношением

my-i-т2-\-т„== т. (20.7)

Доказательство. Как мы видели выше, каждому корню kj характеристического уравнения отвечает, по крайней мере, одна линейная форма, удовлетворяющая уравнению (20.1). Пусть V; -