) Между этими формами могут быть одинаковые, если не все числа Xj различны.

линейная форма, отвечающая корню Xjгак что

dVj \л dVj

= Z/-3?7 Р + • • • + Psnn) = ji (20.8)

(У=1. 2.....«).

Рассмотрим форму m-vo порядка

V = vrv... УЛ",

где т, щ.....- любые целые неотрицательные числа, связанные соотношением (20.7). Составляя производную этой функции по времени в силу уравнений (19.3), будем на основании (20.8) иметь:

IL.m,VT-W", ... V:- mVTvT ... + ... +

4- m„VTvT ... VT"-- = (т,Х, + щХ, + . .. + m„X„) V.

Таким образом, форма т-го порядка удовлетворяет уравнению (20.1) со значением X, равным величине (20.6). Но для этого, как мы видели, необходимо, чтобы X было корнем уравнения (20.5). Итак, доказано, что все величины (20.6) являются корнями уравнения (20.5).

Нам остается показать, что величины (20.6) исчерпывают все корни уравнения (20.5), т. е. что других корней это уравнение не имеет. Это обстоятельство совершенно очевидно для того случая, когда все числа (20.6) различны. Действительно, в этом случае формула (20.6) определяет столько различных корней уравнения (20.5), сколько существует различных систем целых неотрицательных чисел mi, т„, связанных соотношением (20.7). Но таких систем существует как раз Л, что равно степени уравнения (20.5).

Допустим теперь, что коэффициенты Psa уравнений (19.3) таковы, что среди чисел (20.6) имеются одинаковые при разных системах значений mj, т„, связанных соотношением (20.7). Покажем, что и в этом случае уравнение (20.5) не имеет корней, не содержащихся в выражении (20.6). Допустим противное, что Х=Х* является корнем уравнения (20.5), не содержащимся среди чисел (20.6). Обозначим через а модуль разности между корнем X* и наиболее близким к нему числом из системы (20.6). Изменим теперь коэффициенты psa, заменив их величинами р. Тогда уравнение (20.5) заменится новым уравнением D„i(X) = 0, и корни нового характеристического уравнения

будут уже другими величинами, которые мы обозначим через Х[.....Х„-

Если величины psa достаточно мало отличаются от psa, то корни

i. .... Хп будут сколь угодно мало отличаться от корней "ку, ..., и корни уравнения Dmik)==Q будут сколь угодно мало отличаться от корней уравнения (20.5). В частности, уравнение D,„ {к) ~ О будет иметь корень, сколь угодно мало отличающийся от к*. Но ps<s можно выбрать так, чтобы все числа

«22+ ••• + «ля (20.9)

были различны при любых целых неотрицательных Оту, CBH3aHHbif соотношением (20.7). Тогда все корни уравнения D,n{k) = Q, и в частности тот, который сколь угодно мало отличается от к*, будут находиться среди чисел (20.9). Следовательно, к* сколь угодно мало отличается от одного из чисел (20.9), которое в свою очередь сколь угодно мало отличается от соответствующего ему числа из системы (20.6), что невозможно, так как разность между к* и ближайшим к нему числом (20.6) равна конечной величине а.

Итак, и в случае, когда среди чисел (20.6) имеются равные, все корни уравнения (20.5) находятся среди этих чисел. Только в рассматриваемом случае уравнение (20.5) будет иметь кратные корни. Таким образом, теорема полностью доказана.

Пусть теперь U{Ху, л:„) - заданная форма т-то порядка. Постараемся определить форму V того же порядка таким образом, чтобы выполнялось уравнение

= YiPsxXi+... + Psnn)-=U. (20.10)

Обозначим, как и прежде, через flSp .... Ядг коэффициенты формы V, а коэффициенты заданной формы U обозначим через by.....b. Приравнивая в уравнении (20.10) коэффициенты при подобных членах,

мы получим для определения .....Ядг уравнения, отличающиеся

от (20.4) только правыми частями, которые теперь будут равны не величинам kui, а величинам bi, так что эти уравнения имеют вид:

n«i + >42a2+••+w% = *;v (20-11)

(/=1. 2.....N).

Определитель этой системы совпадает, очевидно, cD„(0), и если он отличен от нуля, то уравнения (20.11) будут допускать одно и только одно решение для а, .... Яд,. В этом случае будет существовать одна и только одна форма V, удовлетворяющая уравнению (20.10). Но все корни полинома DQ) определяются выражением (20.6), и мы приходим, таким образом, к следующей теореме.

Теорема 2. Если корна kj характеристического уравнения таковы, что выражение (20.6) не об ращается в нуль ни при

каких целых неотрицательных т.....т„, связанных соотношением (20.7), то какова бы ни была наперед заданная форма т-го порядка U(х, ..., х„), существует одна и только

одна форма того же порядка V(Xi.....х„), удовлетворяющая

уравнению (20.10).

§ 21. Построение функций Ляпунова для систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Мы переходим теперь к построению функций Ляпунова для систем линейных уравнений

= PsxX,+ ...+PsnXn (5=1,2.....п) (21.1)

с постоянными коэффициентами.

Допустим сначала, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Это, как мы видели, будет тогда и только тогда, когда все корни Xj характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Будет ли при этом существовать функция, удовлетворяющая всем условиям теоремы Б предыдущей главы? Положительный ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то какова бы ни была наперед заданная знакоопределенная форма

U{Xi.....л:„), существует одна и только одна форма

V{xi.....xj того же порядка, удовлетворяющая уравнению

dV \\ dV , , , . ,т .Of оч

и эта форма получится обязательно знакоопределенная, знака, противоположного с U.

Доказательство. Так как вещественные части всех корней Я отрицательны, то величина (20.6) не обращается в нуль ни при каких

целых неотрицательных т..... не равных нулю одновременно.

Поэтому на основании теоремы 2 предыдущего параграфа существует одна и только одна форма V, удовлетворяющая уравнению (21.2). Остается показать, что если форма U - знакоопределенная, то и форма V будет также знакоопределенной, знака, противоположного с U.

Допустим для определенности, что форма U определенно-отрицательна. Рассмотрим форму V. Возможны три случая: 1) форма V может принимать отрицательные значения, 2) форма V - постоянно-положительная и 3) форма V - определенно-положительная.

Если бы имел место первый случай, то функция V удовлетворяла бы всем условиям теоремы В и невозмущенное движение было бы неустойчиво, что противоречит условию.