Главная - Литература

0 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892. 3-е изд., Гостехиздат, 1950. В дальнейшем при изложении тех или иных результатов А М Ляпунова всегда имеется в виду, если противное не оговорено, эта работа.

чивости занимались также Томсон и Тэ1 н Н. Е. /Куковский. Все эти авторы рассматривали весьма частные случаи движений и для решения задачи применяли нестрогие методы. Первое строгое решение задачи принадлежит Пуанкаре. Однако результаты Пуанкаре также носят весьма частный характер.

В 1892 году появилась знаменитая докторская диссертация А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» >). В этом замечательном труде задача об устойчивости движения была впервые поставлена во всей ее общности и были предложены мощные и вместе с тем строгие методы ее решения. Эта работа Ляпунова явилась отправным пунктом всех дальнейших исследований по теории устойчивости движения.

Выше мы дали весьма схематичное определение устойчивости и неустойчивости движения. Эти понятия требуют, разумеется, более точного определения. Различные авторы по-разному определяли эти понятия и вследствие этого по-разному ставили задачу устойчивости. Наиболее общая постановка задачи дана Ляпуновым. Эта постановка оказалась исключительно удачной и наиболее соответствующей нуждам приложений Этим и объясняется тот особый интерес, который проявлен к теории Ляпунова в последние годы, когда современная техника, в которой приходится иметь дело с огромными скоростями и широким внедрением автоматики, сделала особо актуальной задачу об устойчивости движения.

Эта книга посвящена теории устойчивости движения в смысле Ляпунова В ней излагаются основные результаты Ляпунова и его последователей.

§ 2, Определение устойчивости.

Понятие об устойчивости движения является непосредственным обобщением понятия устойчивости равновесия, которое, как известно, заключается в следующем.

Рассмотрим произвольную динамическую систему с k степенями

свободы, определяемую обобщенными координатами r/j, 2.....Як-

Допустим, что рассматриваемая система имеет положение равновесия, определяемое значениями а, обобщенных координат, так что уравнения движения допускают частное решение qi = a. Выведем систему из положения равновесия, отклонив ее координаты на величины е-, и сообщим ей начальные скорости е, т. е. рассмотрим движение системы, определяемое начальными условиями:



§ 2]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

Если для всех такого рода движений отклонения координат -ai и скорости будут все время оставаться численно меньшими сколь угодно малого положительного числа 8 при условии, что начальные отклонения и начальные скорости е численно меньше достаточно малого положительного числа т], то равновесие называется устойчивым. В противном случае равновесие неустойчиво.

Простейшими известными примерами устойчивого и неустойчивого равновесия являются, соответственно, нижнее и верхнее вертикальные положения маятника, когда его центр тяжести не лежит на оси подвеса.

Отметим два основных момента, вытекающих из определения устойчивости:

1) Об устойчивости или неустойчивости равновесия судят по характеру тех движений, которые имеют место вблизи положения равновесия.

2) Для устойчивости равновесия необходимо, чтобы подходящим выбором начальных отклонений системы от ее положения равновесия и начальных скоростей можно было добиться, чтобы эти отклонения и скорости оставались меньше любого наперед заданного числа. Так что, например, верхнее вертикальное положение маятника, показанного на рис. 1, будет неустойчивым, как бы мал ни был угол а,

так как отклонение маятника от положения равновесия не может быть сделано меньше а, как бы ни были выбраны начальные условия движения.

Совершенно аналогично устойчивости равновесия определяется по Ляпунову устойчивость движения.

Рассмотрим произвольную динамическую систему и допустим, что ее движение может быть описано системой дифференциальных уравнений, которая может быть приведена к нормальному виду:


Рис. 1.

(5=1, 2.....п).

(2.1)

Здесь - некоторые параметры, связанные с движением, как, например, координаты, скорости или вообще некоторые функции этих величин.

Рассмотрим какое-нибудь частное движение нашей системы, которому соответствует некоторое частное решение y = f{f) уравнений (2.1). Мы будем это движение называть невозмущенным в отличие от других движений нашей системы, которые мы будем называть возмущенными. Разности значений величин у в



каком-нибудь возмущенном и в невозмущенном движениях будем называть возмущениями.

Определение. Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам у, если для всякого положительного числа е, как бы мало оно ни было, найдется другое положительное число ц{е), такое, что для всех возмущенных движений ys = ys{i)< ля которых в начальный момент t~to выполняются неравенства

У.(д-Л(о)<г1, (2.2)

будут при всех tt выполняться неравенства

bsit)-fsit)\ <е. (2.3)

Невозмущенное движение называется неустойчивым, если оно не является устойчивым. Таким образом, для неустойчивости движения достаточно, чтобы существовало какое-нибудь фиксированное число е И при любом сколь угодно малом у\ хотя бы одно возмущенное движение, для которого выполняются неравенства (2.2) и для которого в некоторый момент времени хотя бы одно из неравенств (2.3) переходит в равенство.

В качестве примера рассмотрим снова обыкновенный маятник, но исследуем устойчивость не равновесия этого маятника, а какого-нибудь его движения, определяемого начальными условиями ср(о)=а, ф(о = 0, где ф - угол отклонения от вертикали, а > 0. Покажем, что это движение неустойчиво по отнощению к ф и ф. Рассмотрим с этой целью какое-нибудь возмущенное движение, определяемое нача.-ьными условиями ф(о) = а--6, ф(ц) = 0, где 6-сколь угодно малая положительная величина. Как известно, период колебаний маятника зависит от начальных условий и при начальной скорости, равной нулю, будет тем больще, чем больще начальная амплитуда. Поэтому период Т колебаний возмущенного движения будет больще периода Т колебаний невозмущенного движения. Следовательно, разность углов ф в обоих движениях, будучи в начальный момент равной 6, по истечении промежутка времени Т несколько увеличится. Это увеличение будет тем меньше, чем меньше 6. Но, как бы мало ни было 6, по истечении достаточно большого промежутка времени разность значений ф, постепенно накапливаясь, станет больше, чем, например, а. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Примером устойчивого движения может служить колебание циклоидального маятника. Устойчивость движения в рассматриваемом случае обусловливается тем, что период колебаний циклоидального маятника не зависит, как известно, от начальных условий.



0 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017