Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [20] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Что касается второго случая, то он вообще невозможен, каковы бы ни были корни характеристического уравнения. В самом деле, будем рассматривать величины как функции времени, удовлетворяющие уравнениям (21.1), и выберем их начальные значения х° таким

образом, чтобы V(x°.....л:°) равнялось нулю. Это возможно, так

как форма V по условию - не знакоопределенная, а только знакопо-

стоянная. Но так как производная отрицательна, то функция V

должна уменьшаться и, следовательно, становиться отрицательной, что противоречит условию ее положительности.

Таким образом, остается только третий случай, что и доказывает теорему.

Рассмотренная в доказанной теореме функция V удовлетворяет всем ycл ВИЯМ теоремы Б и является, следовательно, функцией Ляпунова для рассматриваемого случая ). Таким образом, для того чтобы построить функцию Ляпунова для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, необходимо задаться какой-нибудь знакоопределенной формой произвольного порядка и искать другую форму того же порядка, производная которой равнялась бы заданной форме. Как мы видели в предыдущем параграфе, задача сведется к решению системы линейных алгебраических уравнений. Вычисления при этом будут тем более громоздкими, чем больше порядок формы. Поэтому если в какой-нибудь задаче имеется необходи.мость действительно вычислить коэффициенты формы V, то в качестве формы U следует взять какую-нибудь знакоопределенную квадратичную форму, например сумму квадратов величин л:.

Допустим теперь, что среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью. В этом случ; е невозмущенное движение для уравнений (21.1) неустойчиво. Вопрос о существовании и построении функций Ляпунова, т. е. функций, удовлетворяющих теореме В или теореме Г, решается нижеследующими теоремами.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью и если эти корни таковы, что величина

mylyml ...+т„Х„ (21.3)

не обращается в нуль ни при каких целых неотрицательных mi.....т„, связанных соотношением

/«1+OTgH-... +=/и, (21.4)



dV \} , , , дУ

то, какова бы ни была наперед заданная знакоопределенная форма и порядка т, существует одна и только одна формаУ того же порядка, удовлетворяющая уравнению (21.2), и эта форма наверное не будет знакопостоянной (в частности, знакоопределенной), знака, противоположного с U.

Доказательство. Пусть U - произвольная знакоопределенная форма т-то порядка. Допустим для определенности, что эта форма положительна. На основании теоремы 2 предыдущего параграфа существует одна и только одна форма V того же порядка, которая удовлетворяет уравнению (21.2). Нам остается показать, что эта форма не может быть ни определенно-отрицательной, ни постоянно-отрицательной. В самом деле, если бы форма V была определенно-отрицательной, то она удовлетворяла бы всем условиям теоремы Б и невозмущенное движение было бы асимптотически устойчиво, что противоречит условию. С другой стороны, форма V не может быть постоянно-отрицательной, каковы бы ни были корни характеристического уравнения. Чтобы в этом убедиться, достаточно, как и при доказательстве предыдущей теоремы, рассмотреть какое-нибудь решение уравнений (21.1) с начальными значениями, обращающими форму V в нуль. Для этого решения форма V, возрастая в силу положитель-dV

ности , необходимо приняла бы положительные значения, что противоречит условию. Таким образом, теорема полностью доказана.

Форма V, фигурирующая в доказанной теореме, представляет собой функцию Ляпунова, удовлетворяющую всем условиям теоремы В. Однако доказанная теорема дает возможность построить эту функцию лишь при некотором добавочном условии о необращении в нуль выражения (21.3). Это условие может не выполняться, как, например, в случае, когда характеристическое уравнение имеет нулевой корень. В этом случае, каково бы ни было число т, всегда существует комбинация целых неотрицательных чисел /те,.....связанных соотношением (21.4), при которой выражение (21.3) обращается в нуль. Действительно, если, например, Я, = О, то достаточно положить mi = т, т2= ... =т„ = 0.

Легко видеть, что в рассматриваемом случае вообще не существует функции Ляпунова, удовлетворяющей теореме В. В самом деле, если характеристическое уравнение имеет нулевой корень, то определитель системы однородных линейных уравнений

обращается в нуль и эта система имеет решение, отличное от тривиального л:, = . .. = л:„ = 0. Но для этого решения выражение



обращается в нуль, какова бы ни была функция V, будь то форма или более сложная функция, и следовательно, это выражение не является знакоопределенным. Следовательно, в рассматриваемом случае для уравнений (21.1) не может существовать функции со знакоопределенной производной, что является основным условием, фигурирующим в теореме В ).

Таким образом, для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда характеристическое уравнение имеет корень с положительной вещественной частью, не всегда существует функция Ляпунова, удовлетворяющая теореме В. Однако в этом случае всегда существует функция Ляпунова, удовлетворяющая теореме Г. Существование этой функции и ее вид устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 3. Если среди корней характеристического уравнения системы (21.1) существует хотя бы один с положительной вещественной частью, то какова бы ни была наперед заданная знакоопределенная форма U произвольного порядка т, всегда найдется такая форма V того же порядка и такое положительное число а, что будет выполняться соотношение

= aV-i-U (21.5)

и при этом форма V наверно не будет знакопостоянной, знака, противоположного с U.

Доказательство. Рассмотрим уравнение

Ри - - - 9 Рп

Р22 -

Р • • • Р2п

Рпп-- -9

= 0, (21.6)

где а - положительное число. Корни этого уравнения связаны с корнями kj характеристического уравнения соотношениями

Поэтому величину а можно выбрать настолько малой, чтобы и уравнение (21.6) имело, так же как и характеристическое уравнение, хотя бы один корень с положительной вещественной частью. При этом, задавшись каким-нибудь т, можно числом а распорядиться, так, чтобы величина

Щ9\+Щ92+ • +"1п9п



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [20] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0016