Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

получаем:

dV VI dV

dt mm ил,

ЧТО И доказывает теорему.

Доказанные теоремы дают метод построения функций Ляпунова для систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда характеристическое уравнение либо имеет все корни с отрицательными вещественными частями, либо хотя бы один корень с положительной вещественной частью. Построение функций Ляпунова для случая, когда характеристическое уравнение, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю, мы здесь не рассматриваем, так как нам это не потребуется для дальнейшего.

Все доказанные в этом параграфе теоремы установлены А. М. Ляпуновым.

§ 22. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Допустим теперь, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

- = + . . . + Psnn + (X,.....Xj (22.1)

(5=1,2.....n).

Где X{Xi.....x„) в области

\Xs\<H

не обращалась в нуль ни при каких целых неотрицательных яг,, ... 1п„, равных в сумме т. Но тогда на основании предыдущей теоремы существует одна и только одна форма т-го порядка V, удовлетворяющая уравнению

• +(Pss-)s-\- -\-PsnXn]-=U. (21.7)

где и-любая наперед заданная знакоопределенная форма т-го порядка. При этом форма V наверно не будет знакопостоянной, знака, противоположного с и.

Из (21.7), учитывая, что на основании теоремы Эйлера об однородных функциях



dt «...

= ~{Х\+ ... +

Так как разложение функции X начинается членами не

dV

ниже третьего порядка, то функция на основании леммы 4 § 7

будет знакоопределенной отрицательной, каковы бы ни были функции X. Следовательно, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Б и невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Теорема, таким образом, доказана.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения имеется хотя бы один

разлагаются в ряды по степеням Ху, .... х„, начинающиеся членами не ниже второго порядка.

Теоремы, установленные в предыдущем параграфе, дают возможность чрезвычайно просто разрешить основную задачу об установлении необходимых и достаточных условий, при которых вопрос о5 устойчивости для системы (22.1) разрешается рассмотрением лишь уравнений первого приближения:

= ... (sl, 2.....п) (22.2)

независимо от того или иного частного выбора функций Х.

Имеют место следующие основные теоремы, установленные А. М. Ляпуновым.

Теорема 1. Если все корна характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бы ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму V (хр ... ,.., xj, определяемую уравнением

s = \

На основании теоремы 2 предыдущего параграфа такая форма V непременно существует и будет обязательно знакоопределенной положительной. Составим производную этой формы по времени в силу полной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения (22.1). Будем иметь:

dV dV



§ 22] ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ 73

с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дифференциальных уравнениях возмущенного дви-окения.

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму (•1.....х„),

определяемую уравнением

где а - некоторое положительное число. На основании теоремы 3 предыдущего параграфа такая форма V обязательно существует и эта форма может принимать положительные значения. Составляя производную этой формы по времени в силу полной системы дифференциальных уравнений (22.1), получим:

= aVW{x,.....х„).

на основании леммы 4 § 7 является функцией определенно-положительной при любом выборе функций Х.

Форма V является, таким образом, функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы Г. Следовательно, невозмущенное движение при любом выборе функций неустойчиво, и теорема доказана.

Теоремы 1 и 2 обратимы. Невозмущенное движение будет устойчиво при любом выборе функций Х только тогда, когда характеристическое уравнение первого приближения имеет корни только с отрицательными вещественными частями и при этом устойчивость будет асимптотической. В то же время неустойчивость при любом выборе функций Х будет иметь место только тогда, когда среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, а именно: имеет место следующая теорема Ляпунова, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то члены высших порядков в уравнениях возмущенного движения можно выбрать так, чтобы получить по желанию как устойчивость, так и неустойчивосщь.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017