Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

A+(C-B)s)z =0.

B + {A~C){x + i)z = Q,

(23.1)

Как мы видели в § 19, если характеристическое уравнение имеет часть корней с нулевыми, а остальные с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение в первом приближении может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Теорема 3 показывает, что какой бы из этих случаев ни имел место, вопрос об устойчивости решается исключительно членами выше первого порядка в уравнениях возмущенного движения, так что движение, устойчивое в первом приближении, может оказаться в действительности неустойчивым, и наоборот.

Таким образом, все случаи, которые могут представиться при исследовании задачи устойчивости, когда уравнения возмущенного движения имеют вид (22.1), можно разбить на две категории: на случаи некритические, когда задача решается уравнениями первого приближения, и случаи критические, когда требуется рассмотрение членов более высоких порядков. Критические случаи имеют место тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение не имеет корней с положительными вещественными частями и имеет корни с вещественными частями, равными нулю. С точки зрения математической, критические случаи можно рассматривать как исключение. Но с точки зрения механической эти случаи являются особенно важными, как в этом легко убедиться из рассматриваемых ниже примеров.

§ 23. Примеры приложения предыдущих теорем.

Рассмотрим несколько примеров приложения теорем предыдущего параграфа.

Пример 1. Рассмотрим твердое тело, вращающееся по инерции вокруг неподвижной точки. Если такому телу сообщить в начальный момент времени вращение вокруг одной из главных осей инерции в закрепленной точке, то тело и в дальнейшем будет вращаться вокруг этой оси и притом равномерно. Исследуем устойчивость этих вращений.

Примем в качестве осей координат главные оси инерции в закрепленной точке, и пусть исследуемое невозмущенное движение соответствует вращению вокруг оси х. Дифференциальные уравнения возмущенного движения составлены нами в § 3 (уравнения (3.9)) и имеют вид



системы первого приближения имеет один корень, равный нулю, и два корня, определяемых формулой

р,.,= ±„/1ёЕ4аЕ2Г. (23.2,

Если С < Л < В или С > Л > В, т. е. если вращение происходит вокруг средней оси инерции, то оба корня (23.2) будут вещественны и один из них будет обязательно положительным. Следовательно, невозмущенное движение будет неустойчиво.

Если вращение происходит вокруг малой или большой оси инерции, так что выполняются неравенства Л < В, Л < С или Л > В, Л > С, то оба корня (23.2) будут чисто мнимыми. Так как при этом третий корень равен нулю, то мы имеем дело с критическим случаем и первое приближение задачи не решает.

Общее исследование случая трех критических корней очень сложно. Но в рассматриваемом примере задача решается просто.

Уравнения (23.1) имеют, как легко видеть, первый интеграл

В (В - Л) y -f С (С - Л) 2 = const.,

знакоопределенный относительно у и г. Отсюда сразу вытекает устойчивость по отношению к переменным у и 2. Но тогда из первого интеграла

Л (л: + м) -f Bf -j- Cz = const.,

которым система (23.1) также обладает) и который является интегралом энергии, немедленно вытекает устойчивость и по отношению к переменной х.

Таким образом, вращение вокруг средней оси инерции неустойчиво, а вращения вокруг большой или малой оси инерции устойчивы.

Пример 2. Рассмотрим вопрос об устойчивости вращательных движений снаряда при настильной траектории стрельбы, которым мы уже занимались в § 12. Дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (12.2). Отбрасывая члены высших порядков.

) Этот интеграл не может быть принят за функцию Ляпунова, так как его левая часть не обращается в нуль при х- у = 0 = 0.

Характеристическое уравнение

-р О О

О р {С~А)а>



получим следующую систему уравнений первого приближения:

Af,-Cna-eRO.\

Aa + Cn~eRa = 0. \

Для того чтобы составить характеристическое уравнение без приведения системы (23.3) к нормальному виду, положим в ней

Для нахождения М я N получим систему линейных однородных уравнений:

- СпХМ -f (.4Я2 -eR)N = 0. (ЛЯ2 - eR)M-\- СпШ = О,

и следовательно, искомое характеристическое уравнение имеет вид Otil Н- (Л Я2 - eRf = 0.

Все четыре корня этого уравнения даются формулой

, ±Cni± VAAeR-Cn 2, 3, 4 =-2А-

Следовательно, если выполняется неравенство 4Ле/? - C2«2 > О,

то два корня имеют положительную вещественную часть и невозмущенное движение неустойчиво. При выполнении неравенства

AAeR - C4<Q (23.4)

все четыре корня характеристического уравнения будут чисто мнимые. Мы будем, следовательно, иметь дело с критическим случаем и для решения задачи необходимо будет рассмотреть и нелинейные члены в уравнениях (12.2).

Решение задачи устойчивости при четырех критических корнях очень сложно. Однако в рассматриваемом случае, как мы видели в § 12, задачу удалось полностью разрешить непосредственным построением функции Ляпунова. При этом оказалось, что при выполнении неравенства (23.4) невозмущенное движение устойчиво.

§ 24. Неустойчивость равновесия. Случай канонических систем.

В качестве следующего примера вернемся снова к вопросу об устойчивости равновесия, когда силовая функция в положении равновесия не обращается в максимум. В предыдущей главе была доказана неустойчивость равновесия для двух случаев отсутствия максимума:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017