Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [23] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dt [dqij dqi dqi

Отбрасывая члены высших порядков, получим обычную систему уравнений малых колебаний:

«n9i + «/292 + • • + ащЧ,, = СаЯх + . .. + С;„9„ (/=1, 2.....и).

Характеристическое уравнение этой системы первого приближения имеет вид

«11,2-«122-Ci2... ai„A,2-Ci„

«21.2 - «22*- - 22 • • • «2n - <1п

= 0. (24.1)

По предположению силовая функция в положении равновесия 9]= ... -q~0 не имеет ни максимума, ни минимума. Это значит, что функция и (9).....q) является знакопеременной. С другой

стороны, мы предположили, что эта знакопеременность определяется

для случая, когда силовая функция в положении равновесия имеет минимум, который определяется членами наинизшего порядка в разложении силовой функции, и для случая, когда силовая функция не имеет ни максимума, ни минимума и является формой.

Мы рассмотрим сейчас случай, когда силовая функция в положении равновесия не имеет ни максимума, ни минимума, и это определяется членами наинизшего порядка в разложении силовой функции, которое мы будем предполагать начинающимся членами второго порядка. Этот случай изучен Ляпуновым, доказавшим при этом неустойчивость равновесия.

Пусть 9j = 2 - • -Qn - - значения обобщенных координат в положении равновесия,

а, р=1 а, р=1

- кинетическая энергия и силовая функция, причем функции

ЛарС?!.....9«) и аз(71. • • 9„) обращаются в нуль при = ... =

= д„ - 0, а Дар и Сар - постоянные. По предположению квадратичная форма

а, Р=1

не обращается тождественно в нуль.

Дифференциальные уравнения возмущенного движения возьмем в форме Лагранжа:

(/=1,2.....«).



членами наинизшего порядка в разложении силовой функции, что означает, что знакопеременной является уже форма U. В теории малых колебаний доказывается, что уравнение (24.1), рассматриваемое как уравнение относительно Я,, имеет только вещественные корни. В этой же теории доказывается, что если форма (Уд является знакопеременной, то среди этих корней имеются обязательно положительные. Но тогда уравнение (24.1), рассматриваемое как уравнение 2я-го порядка относительно X, также имеет положительные корни, что и доказывает неустойчивость равновесия.

Для того чтобы равновесие было устойчиво, необходимо, чтобы все корни Я,2. уравнения (24.1) были отрицательны. Это будет тогда и только тогда, когда форма является определенно-отрицательной. Тогда все корни Xj будут чисто мнимыми. Мы будем, следовательно, иметь дело с критическим случаем. Но равновесие при этом будет устойчивым на основании теоремы Лагранжа.

Чтобы рассмотреть пример более общего характера, допустим, что предложена система 2и-го порядка, которая имеет каноническую форму

dxi дН йу1 дН дУ1

(/=1. 2.....я).

(24.2)

где Н - произвольная квадратичная форма 2я переменных х,, ..., х„,

Vi.....Уп-

Уравнения (24.2) можно переписать в виде

- = CaXi +0,2X2+ ... Ч-С,„х„ + В,,у1Н-В,2У2Ч----

~-АуХу А2Х2 . . . Л;дХ„-Cjy, -С2,-У2- • • • -nin

dxidxj •

dyj •

Ч ~ ду1 dxj •

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид

0(Х) =

X С,2

... Q„

Ви

• 2,,

2 ,

С„2 * .

Спп-

Вп2 .

Вп,

+ 1С2г

.. с„1

А<1\

• • А2„

С,2Х .

. • С„2

= 0.

(24.3)



•С„1

С „2

A/tn

в„,

• Вп2

С22 "Ь • • •

Впп

Спп+%

Вц Вх

... В„,

-{-ХС2

Си

Bi2 В22

...В„2

С22 + >

Сп

-1)"

В\п Вп

• • • Вп

С]1 % С21

12 22 -

...

12

• • • пп

2/1

... с

22 + • • • Q

21 22

...в

Сп2 A2I А22

... л„,

• • • А„2

...В„

Сц - Я С21 ... С„]

12 22 - Я . . . С„2

• • ил "

(24.4)

(сначала делаем строки столбцами, затем меняем местами первые и последние и строк, после чего меняем местами первые и последние и колонок). Но так как

Au==Aji, Bij = Bji,

то из (24.4) следует, что уравнение (24.3) не меняется при замене к на-л. Следовательно, уравнение (24.3) содержит только четные степени к. Поэтому, если оно имеет корни с вещественными частями отрицательными, то оно будет иметь корни и с положительными вещественными частями и невозмущенное движение будет неустойчиво. Следовательно, для того чтобы движение было устойчиво, необхо-

Определитель D (Я) можно преобразовать следующим образом: D(k) =



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [23] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0082