димо, чтобы все корни уравнения (24.3) были чисто мнимыми. Будет ли при этом действительно иметь место устойчивость, зависит от членов более высоких порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.

Если форма Н является знакоопределенной, то, учитывая, что = const, является интегралом уравнений (24.2), мы должны будем заключить на основании теоремы А, что невозмущенное движение в первом приближении устойчиво. Следовательно, в этом случае все корни уравнения (24.3) будет обязательно чисто мнимыми. Но уравнение (24.3) может иметь только чисто мнимые корни и тогда, когда Н не является знакоопределенной.

§ 25. Теорема Гурвица.

Из предыдущего ясно, что для задачи устойчивости имеет большое значение вопрос о знаках вещественных частей корней алгебраических уравнений. В частности, важно знать необходимые и достаточные условия, при которых все корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Эти необходимые и достаточные условия даются теоремой Гурвица, которую мы приводим здесь без доказательства 1).

Теорема Г у рвкца.. Пусть предложено уравнение п-й степени

а,х"а,х"- + а2х"-+ ... +a„ iX + a„ = 0. (25.1) Составим определители

Ai = ai,

«1

«2

До а.

«1 аз

«2

«1

«4 а

==а„А

2п-1 2л-2 2п-3 2п-4 • • • а„

где Ul = О, если i > п.

) Доказательство теоремы Гурвица можно найти в книге: К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, Гостехиздат, 1946, а также в книге: Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1946. В технических приложениях теории устойчивости движения для проверки отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения часто используется не теорема Гурвица, а другие критерии. В частности, в теории автоматического регулирования, радиотехнике и электронике обычно применяются так называемые частотные критерии, базирующиеся на понятии передаточной функции системы (см., например, П оп о в Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, Гостехиздат, 1954).

Для того чтобы все корни уравнения (25.1) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись неравенства

А, > О, А2 > О.....А„ 1 > О, а„ > 0.

Для уравнения третьей степени

ах -f ajX -f fljx -f «3 = О

имеем условия:

а, > О,

«1

= aia2 - «30 > О- йз > 0.

«3 «2

Для уравнения четвертой степени

ах -j- а]хЗ -j- «2-» Ч- 3 + 4 = О

(25.2)

(25.3)

имеем:

ai>0,

«2

>0.

0-1 «3 «2

О а.

>0, а4>0

Из третьего условия на основании четвертого вытекает аз(а1а2 - - аа > aaj > О, следовательно, второе условие может быть заменено неравенством а > 0. Таким образом, условия отрицательности вещественных частей корней уравнения (25.3) имеют вид

а, >0, аз>0, а{аа2~ аа)~-аа\~> > 0.

§ 26. Обобщение теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Приложение к регулируемым системам.

Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению обобщались различными авторами. Целью этих обобщений являлось ослабление условий, налагаемых на функции X,, которые Ляпунов, как мы видели, предполагал аналитическими с разложениями, начинающимися членами не ниже второго порядка. При этом был предложен ряд довольно сложных доказательств. Так, например, Коттон) заменил систему дифференциальных уравнений (22.1) эквивалентной системой интегральных уравнений, которую он затем интегрировал методом последовательных приближений, приме-

) Cotton е., Sur les soiutions asymptotiques des equations different(elle§, Annates scientifiques de IEccle ncrmale superieure, т. 28, 19U-

Х,- <Л{1х, + ... + х„)2. (26.2)

где А - достаточно малая постоянная, а для этого, учитывая линей-dV

ность функций -j-. достаточно, чтобы функции Х удовлетворяли неравенствам

\Х,{х„...,х,)\ <а{х, + ... + х„}, (26.3)

где а - также достаточно малая постоянная, зависящая исключительно от коэффициентов формы V.

Таким образом, теорема 1 § 22 остается справедливой, если от функций Х потребовать только, чтобы они в некоторой окрестности начала координат удовлетворяли неравенствам (26.3). Необходимо также потребовать, чтобы выполнялись общие предположения относительно дифференциальных уравнений возмущенного движения, сделанные нами в § 6.

Все сказанное относительно теоремы 1 справедливо также и для теоремы 2.

Указанные обобщения теорем Ляпунова являются наиболее общими из известных в литературе. И мы только что видели, как просто они доказываются при помощи функций Ляпунова. Однако ценность указанных доказательств заключается не только в их простоте. Главная ценность этих доказательств заключается в том, что они дают

) Perron О., Ober Slabililat und asymptotisches Verhalten der Integrale yon Differentialgleichungssystemen, Math. Zeit., т. 29, вып. 1, 1928.

нив при этом громоздкий метод доказательства сходимости этих приближений. Аналогичным приемом пользовался Перрон).

Однако метод доказательства, предложенный самим Ляпуновым, изложенный нами в § 22, показывает без всяких дополнительных исследований, что указанные теоремы сохраняют силу при значительно более общих предположениях относительно Х. А именно, при доказательстве теоремы 1 § 22 условие, что функции Х разлагаются в ряды, начинающиеся членами не ниже второго порядка, было использовано только для того, чтобы можно было утверждать, что функция

-{х\+х1 ...+ х2)+ 5; Х (26.1)

является определенно-отрицательной. На основании леммы 2 § 7 для этого достаточно, чтобы в некоторой окрестности начала координат выполнялось неравенство