Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

возможность Практически вычислить область устойчивости, когда последняя имеет место.

Действительно, область асимптотической устойчивости в случае теоремы 1 определяется (см. примечание в конце § 10) областью знакоопределенности функции (26.1). Что же касается последней, то она совпадает с областью, где выполняются условия (26.3). Это может быть все пространство, если, например, функции являются линейными с достаточно малыми коэффициентами. Если функции X, являются аналитическими, начинающимися членами не ниже второго порядка, то областью выполнимости условий (26.3) будет некоторая окрестность начала координат, которую нетрудно определить, если известно число а.

Во всех случаях дело сводится к определению числа а, а поскольку коэффициенты формы V известны, то задача сводится к вычислению числа А, т. е. числа, при котором функция (26.1) будет определенно-отрицательной при выполнении неравенства (26.2). Последняя задача элементарна. Действительно, нужно выбрать число А таким образом, чтобы выполнялось неравенство

Л{х1 + ...+ x„}<x?+... + x. (26.4)

Поскольку обе части неравенства (26.4) представляют квадратичные формы, это неравенство будет выполняться всюду, если оно выполняется на сфере единичного радиуса. Таким образом, можно положить

так как есть максимум величины -f-...-f- x„] на сфере

Выщеуказанный метод определения области устойчивости можно несколько видоизменить путем другого выбора функции V. Можно, очевидно, выбрать функцию V таким образом, чтобы удовлетворялось уравнение

Yi Psll + • • • + PsnXn) -53 = (I • • • Х„), s=\

где и - любая наперед заданная определенно-отрицательная квадратичная форма, а не обязательно сумма отрицательных квадратов. Тогда неравенство (26.4) заменится неравенством

А\\х,\ + ... + \x„\Y <-и {х„ ..х„)

и для числа А имеем:



= PnXi + Р11Х2 + • •. + Ртп + f (Xk)-

(26.6)

at = PnXl + РпХ2 + . • • + PinXn

(/ = 2. 3.....n).

где /(ft) - нелинейная функция одного аргумента Xj.

) А й 3 е р м а и М. А., О сходимости процессов автоматического регулирования после больших начальных отклонений. Автоматика и телемеханика, т. VII, № 2-3, 1946.

где т - наименьшее значение формы - U т сфере единичного радиуса.

Таким образом, число А получится зависящим от коэффициентов заданной формы U. Этим можно воспользоваться для расширения области устойчивости.

Можно, наконец, определить а прямо из условия, что при выполнении (26.3) должно выполняться неравенство

без перехода через неравенство (26.2).

Приведенные способы определения области устойчивости являются лишь некоторыми из тех, которые можно рекомендовать. Вообще здесь следует помнить, что область устойчивости определяется по правилам § 10, областью, где выполняется неравенство (26.5), и для определения последней следует воспользоваться любым способом, который в каждом отдельном случае окажется наиболее удобным.

Практически могут возникнуть следующие три основные задачи, связанные с определением области устойчивости:

1) заданы уравнения первого приближения (с отрицательными вещественными частями у корней характеристического уравнения), заданы нелинейные члены, требуется определить область устойчивости;

2) заданы уравнения первого приближения, задана требуемая область устойчивости, необходимо определить условия, которым должны удовлетворять нелинейные члены;

3) задана требуемая область устойчивости, известен характер нелинейных членов, необходимо определить условия, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений первого приближения.

Для пояснения всего вышеизложенного рассмотрим одну из задач этого рода, решенную М. А. Айзерманом ).

Допустим, что предложена регулируемая система, описываемая дифференциальными уравнениями вида



= PnXl + . . + Pl„X„ + floft. dxi I I

(1 = 2, Ъ.....n)

(26.7)

характеристическое уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

Требуется определить такие значения для чисел а, и а, при которых положение равновесия Xj = ... = л:„ = О регулируемой системы асимптотически устойчиво при любых начальных возмущениях.

Мы видим, таким образом, что задача подобна задаче об определении числа а в неравенствах (26.3). Эту задачу М. А. Айзерман рещает следующим образом.

Пусть V (Xi.....х„) определенно-положительная квадратичная

форма, производная которой в силу линейной системы (26.7) равна наперед заданной определенно-отрицательной квадратичной форме f/(х,.....х„), так что

SdV dV -(PnXi-i- . + PinXn)-i-aoXf,-=U(xi.....x„). (26.8)

Тогда квадратичная форма

дУ дх

= 24 (Рп + .. + Рих„) + («о + * (26.9)

будет также определенно-отрицательной, если число \а\ достаточно мало. Пусть - а, и - наименьщее и наибольщее значения а, при которых форма (26.9) еще определенно-отрицательна. Эти величины легко определяются простым применением какого-нибудь признака знакоопределенности квадратичных форм. Полученные числа и а2 и являются искомыми. Действительно, если форма (26.9) является определенно-отрицательной при - а Oj, то функция

S (/ai + ... + PtnXn) + / (*)

Относительно функции /(х) предполагается, что при любом кривая f = f{x) лежит между прямыми f = (aQ-а)х и / = = (ao+2)-ft 1 и 2 - некоторые постоянные. Предполагается далее, что для соответствующей линеаризованной системы



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0077