Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [26] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

будет также определенно-отрицательной, так как кривая / (х) лежит между прямыми / - (а-ai)Xj и / = (0+1)-* и> следовательно, при любом Xft найдется такое число а, лежащее в интервале (- а, Aj). что будем иметь: / (X;j) = (ао+а) Х;.

Пример. Проведем все выкладки на примере автоматического регулирования числа оборотов силового двигателя, рассмотренном М. А. Айзерманом. Регулирование осуществляется по схеме, изображенной на рис. 7.


Слив

Подбод масла Н сервомотору

Подвод топлива Рис. 7.

Обозначим через х отклонение числа оборотов от его значения, которое нужно поддерживать, считая эту величину положительной, когда число оборотов растет. Через z обозначим смещение муфты измерителя. Эту величину будем считать положительной, если ее изменение вызвано ростом х. Далее обозначим через s смещение золотника сервомотора от равновесного положения, считая эту величину положительной, когда она соответствует росту z. И наконец, обозначим через у смещение поршня сервомотора, считая эту вели-



dt dy

уравнение сервомотора: -=:cs;

уравнение золотника: s = cz - dy;

уравнение измерителя: z = сх.

(26.10)

Здесь а, Ь, с, с, с, - положительные постоянные. Что же касается величины N, то она равна если при отсоединенном

регуляторе двигатель устойчиво держит обороты, т. е. обладает положительным самовыравниванием. Напротив, Л/ = -1, если двигатель обладает отрицательным самовыравниванием, и, наконец, N = 0, если двигатель не обладает самовыравниванием.

Мы рассмотрим здесь случай, когда самовыравнивание нелинейно и характеризуется однозначной нелинейной функцией f (х). Уравнение движения мы получим, заменяя в первом уравнении (26.10) член - Nax членом f (х). Тогда, исключая s п z, получим следующие уравнения задачи:

= f(x)-by, = cx~-dy. (26.11)

где с = С1С2С3, d = dc.

Мы будем предполагать, что самовыравнивание отрицательно. В этом случае функция / (х), обращающаяся в нуль при х = О, будет обладать в этой точке положительной производной, которую мы обозначим через а.

Тогда для системы первого приближения будем иметь:

dx и dy ,

- = aoX - by, - = cx - dy.

Для того чтобы характеристическое уравнение имело корни с отрицательными вещественными частями, необходимо, чтобы выполнялись неравенства

rf -ао>0, bc - adO. (26.12)

М.ы будем предполагать, что эти условия выполняются. Для решения задачи положим:

f/= Ж (x2-[-/), 2V = .4x2 + 25xy-f-Cy2, где N[ - некоторая заданная положительная постоянная, и выберем

чину положительной, когда смещение поршня сервомотора вызвано положительным смещением s.

При линейной идеализации имеем следующие уравнения:

уравнение регулируемого объекта: -77- = - Nax - by;



А, в, с таким образом, чтобы выполнялось уравнение

(аох - + 1 (сх ~ dy) = - Ж (х2 + у2). (26.13)

Приравнивая в (26.13) коэффициенты при подобных членах, мы получим следующие уравнения для этих коэффициентов:

аоЛ+с5 = -Ж, - bB - dC = ~M, - & Л + (ао - в + сС = 0.

Отсюда

АЛ= yM[rf(d -ао) + с(& + с)],

АВ==- MiaoC-\-bd), (26.14)

ACM[bф + с) - ао (d-ao)],

где А определяется формулой

A=z(bc - ad) (d - ао)

и является в силу (26.12) величиной положительной. Рассмотрим теперь форму

- Ж (х2 + у2) + ах = (- Ж + а Л) х2 -[- аВху - Mf.

Для того чтобы эта форма была определенно-отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

522 4 Л1 ( - Л1 а Л) <; 0.

Это неравенство будет выполняться при всех значениях а, лежащих в интервале -ау<, а < а, где а и а определяются формулами

«2 = (-4-/44),

£2

Положим Ж = А, после чего (26.15) примет вид

(26.15)

(26.16)

A*d(d~ac{bc\ ff - iac + bd).

Таким образом, если при всех значениях х кривая / = / (х) лежит между прямыми f~{aQ-а,)х и / == (ао+г) ажа

определяются формулами (26.16), то состояние равновесия регулируемой системы асимптотически устойчиво при любых начальных возмущениях).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [26] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.2729