Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [27] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 27] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 89

§ 27. Заключительные замечания.

Итак, все случаи, которые могут представиться при решении задачи устойчивости, когда уравнения возмущенного движения имеют вид (19.1), можно подразделить на некритические, когда задача решается первым приближением, и критические, когда рассмотрение лишь первого приближения недостаточно. Случаи будут критическими тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение системы первого приближения, не имея корней с положительными вещественными частями, имеет корни с вещественными частями, равными нулю.

С точки зрения математической критические случаи можно рассматривать как исключительные. Однако с точки зрения механической эти случаи имеют очень важное значение. Так, во всех примерах, рассмотренных нами в §§ 23 и 24, устойчивость могла иметь место только в критических случаях. С другой стороны, для многих механических систем характеристическое уравнение системы первого приближения имеет критические корни в силу самого устройства этих систем. Такой, например, будет система регулирования, рассмотренная нами в § 12. Действительно, уравнения возмущенного движения (12.7) этой системы имеют один характеристический корень, равный нулю.

Таким образом, очень важно иметь методы, позволяющие решать задачу устойчивости в критических случаях. К сожалению, эта задача очень сложна и до сих пор нет общих методов ее решения. При этом задача делается тем сложнее, чем больше число критических корней. Ляпунов разрешил эту задачу для следующих трех случаев;

1) Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень и п корней с отрицательными вещественными частями.

2) Характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней и п корней с отрицательными вещественными частями.

3) Характеристическое уравнение имеет два нулевых корня, и система имеет только второй порядок. При этом двойному нулевому корню соответствует только одна группа решений.

В следующей главе мы рассмотрим первые два случая. Случай двойного нулевого корня при несколько иных предположениях будет рассмотрен в главе VI, после того как будут установлены некоторые общие теоремы теории критических случаев. В этой же главе будут рассмотрены и критические случаи, когда характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней и когда оно имеет один нулевой и пару чисто мнимых корней.



ГЛАВА IV.

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ ДЛЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ,

§ 28. Случай одного нулевого корня. Приведение уравнений к специальному виду.

Допустим, что система уравнений возмущенного движения есть система (п + 1)-го порядка и имеет вид

-Г = ад + ••• +}j.n,iyni + yjiyi.....Уп+г) (28.1)

(У=1. 2.....и+1).

где 4ji - постоянные, а функции Vj разлагаются в некоторой окрестности начала координат в ряды по степеням величин у, начинающиеся членами не ниже второго порядка. Мы переходим к рассмотрению критического случая, когда характеристическое уравнение системы первого приближения

=ЯпУх+ ••• +9лл+.У„+1 (7=1. 2.....«+1) (28.2)

имеет один нулевой корень при остальных п корнях с отрицательными вещественными частями.

Введем в уравнениях (28.2) вместо одной из переменных у переменную X при помощи подстановки

л: = а1У1 + а2)2-Ь ••• -f-a„ + iy„4,. где ву - некоторые постоянные. Эти постоянные мы постараемся выбрать таким образом, чтобы преобразованное уравнение приняло вид

Мы должны, следовательно, иметь тождественно л+1 л+1

j=i /-1



Приравнивая нулю коэффициенты при у, мы получим следующую систему линейных однородных алгебраических уравнений:

9и«1 + 92*в2+ ••• +9л+1,= о (А=1, 2.....й+1). (28.3)

Так как характеристическое уравнение системы (28.2) имеет нулевой корень, то определитель системы (28.3) обращается в нуль и, следовательно, эта система имеет решение для ву, в котором не все эти постоянные равны нулю. Допустим для определенности, что в„1 ф 0. Тогда мы можем принять переменную х вместо переменной y„4i- Остальные переменные у; сохраним прежние, но будем обозначать их в дальнейшем через лг;. Таким образом, мы преобразуем уравнения (28.2) при помощи подстановки

X = в1У1 + ... + в„у„ + ЛпЛлУп+Х \ х, = у, (/=1, 2, «). 1 *>

Теперь, обозначая

Psft == 4sk -

(S, k = \, 2.....й),

мы приведем уравнения (28.2) к виду dx

= 0,

где p,, py--постоянные. Характеристическое уравнение этой системы, имеющее вид

Рп - Pl2 ••• Pin Pi

Р21 Р22- •• Р2п Р2

Рпп- Рп

О -X

= 0,

распадается на уравнение Я, = 0 и уравнение Рп - Pi2 • • • Рт

Р21 Р22 - • • • Р2п

= 0.

(28.5)

Так как характеристическое уравнение инвариантно по отношению к линейным преобразованиям и в рассматриваемом случае имеет п



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [27] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017