~Х {х, Xi.....х„).

iXi dt

~=Ps\Xl + ... + PsnXn+PsX+X,{X, Xy.....X„)

(s= 1, 2.....ri).

(28.6)

где X и X - аналитические функции переменных х, х,.....х„,

разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.

Таковы будут дифференциальные уравнения возмущенного движения в интересующем нас критическом случае одного нулевого корня характеристического уравнения. Этот вид дифференциальных уравнений будет исходным для дальнейшего исследования.

§ 29. Исследование задачи для случая системы первого порядка.

Мы рассмотрим сначала случай, когда «= О и, следовательно, уравнение возмущенного движения имеет вид dx

= X{x) = gx + giX-+ .... (29.1)

где m >- 2, а g, g+u • - некоторые постоянные.

В рассматриваемом частном случае задача устойчивости решается сразу, а именно: если т является числом четным, то невозмущенное движение неустойчиво; если же т является числом нечетным, то при < О невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при > О оно неустойчиво.

Действительно, если т - число четное, то правая часть уравнения (29.1) в некоторой окрестности начала координат принимает значения одного знака, совпадающего со знаком g. Поэтому если рассматривать точку, движущуюся по оси х согласно уравнению (29.1), то скорость этой точки имеет определенное направление, независимо от того, будет ли точка находиться справа или слева от начала координат. Следовательно, если при > О движущаяся точка в начальный момент находится справа от начала координат, а при < О слева от начала координат, то она будет удаляться от этой точки пока не выйдет из области знакоопределенности функции X. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво вне зависимости от знака g.

Если т - число нечетное, то скорость движущейся точки меняет свое направление при переходе через начало координат. При этом при > О точка всегда удаляется от начала координат, а при < О она, напротив, к нему приближается. Следовательно, в первом случае

корней с отрицательными вещественными частями, то все корни уравнения (28.5) имеют отрицательные вещественные части.

Если при помощи подстановки (28.4) преобразовать систему (28.1), то она, очевидно, примет вид

Для имеем:

Обе функции как V, так и знакоопределенны. При этом, если

g- > О, то обе эти функции будут одинакового знака, и V удовлетворяет всем условиям теоремы В, откуда мы снова заключаем о неустойчивости движения. При < О 1/ и имеют противоположные

знаки и, следовательно, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Б, откуда вытекает асимптотическая устойчивость. При т четном полагаем просто

V = x.

Тогда будет функцией знакоопределенной, а сама функция V, каков бы ни был знак g, может принимать значения того же знака, что и . Следовательно, как при > О, так и при < О 1/ удовлетворяет всем условиям теоремы В, и невозмущенное движение неустойчиво.

§ 30. Исследование задачи для системы («+1)-го порядка в част-ном случае.

Допустим теперь, что я =t 0. Мы будем, однако, сначала предполагать, что правые части уравнений (28.6) связаны некоторым ограничительным условием. Это условие заключается в следующем.

Обозначим через Х°\х) и А*°*(л;) соответственно совокупности всех членов в функциях X и X, не содержащих х, ..., х,,, так что

Х\х) = Х{х, 0.....0) = g-x" + <"+"x"++...,

Xf{x) = X(x, О.....Q)==gys + gMx"s*+ ...\ (30.1)

(s=l. 2.....я),

где g, g"*. gg, g*"* - постоянные. Мы будем предполагать, что

1) Х\х) не обращается тождественно в нуль,

2) т,:т,

3) все величины в уравнениях (28.6) равны нулю.

невозмущенное движение неустойчиво, а во втором случае оно устойчиво и притом асимптотически.

Легко построить функции Ляпунова для рассматриваемой задачи, а именно, если т - число нечетное, то полагаем:

Х\х)+Х\х, х.....Xn)=:gx+... + X,

dx dt

= PslXl-{- ••+PsnXn + X,{x, Ху.....X„)

(s= 1. 2. .... я).

(30.2)

где функция X(х, х, х„) обращается в нуль при Xi= .,. ...=зл;„ = 0, построить функции Ляпунова, удовлетворяющие условиям теоремы Б или В. Задача, следовательно, заключается в построении функции V{x, Ху.....х„), производная которой, составленная в силу уравнений (30.2), была бы знакоопределенной.

Допустим сначала, что т - число нечетное. Пусть W(xy.....х„)-

квадратичная форма переменных х.....х„, выбранная согласно

условию

S (.1+ • • • + PsnXn)=xl+ + (30.3)

5 = 1

Так как все корни уравнения (28.5) имеют отрицательные вещественные части, то на основании теоремы 1 § 21 форма W существует и будет определенно-отрицательной.

Если бы функции Х не зависели от х, то производная по времени от формы W, составленная в силу последних я уравнений системы (30.2), т. е. выражение

••• +ЛЛ + 5). (30.4)

dXs s=l

При этих предположениях задача устойчивости решается сразу, а именно: невозмущенное движение всегда неустойчиво, если т - число четное. Если т - число нечетное, то при §• > О невозмущенное движение неустойчиво, а при <0 оно устойчиво и притом асимптотически. Другими словами, ответ получается такой же, как если бы решалась задача устойчивости для одного уравнения

Таким образом, для решения задачи устойчивости при выполнении вышеуказанных ограничений можно отбросить все некритические уравнения, а в критическом уравнении отбросить все члены, содержащие некритические переменные, и исследовать полученное таким образом одно уравнение с одной неизвестной функцией.

Для доказательства высказанных предложений мы постараемся для уравнений возмущенного движения, которые в рассматриваемом случае имеют вид