§ 30] система (rt-f- 1)-го порядка; частный случай 95

являлась бы при достаточно малых х-.....х„ определенно-положительной функцией относительно х, .... л:„.

С другой стороны, если бы функция X it зависела от Xj.....х„,

т. е. если бы X = О, то производная по времени от функции S",

составленная в силу первого уравнения (30.2), равная

gxX = gx+ + gg„,,x++ ... +gxX, (30.5)

была бы при X достаточно малом определенно-положительной относительно X. Поэтому при указанных условиях производная по времени от функции

V,:=gx- + W{x,.....x„), (30.6)

составленная в силу полной системы уравнений (30.2), была бы определенно-положительной функцией всех я--1 переменных х, Xi, .... х„ в некоторой достаточно малой окрестности начала координат. Эту производную можно было бы представить в виде

(g + nx" + x]+ ... +2+ 2 /„рХ„Хр, (30.7)

я, Р=1

где /-некоторая функция от х, обращающаяся в нуль при х = 0, а -некоторые функции от х,.....х, обращающиеся в нуль

при х, = ... =л:„ = 0.

Но так как функция X содержит л;,, ..., х„, а функции содержат X, то производная от Vj в силу (30.2) не будет определенно-положительной. В ней появятся члены, нарушающие знакоопределенность.

Чтобы выяснить общий вид этих членов, заметим прежде всего, что выражение (30.7) останется, очевидно, знакоопределенным, если функция / содержит не только переменную х, но и переменные

л:,.....х, а функции / содержат не только переменные х.....х,

но и переменную х. Важно только, чтобы функции / и обращались в нуль при x = a;, = ... =х„ = 0.

Учитывая это обстоятельство, запишем производную от Vi в силу уравнений (30.2) в виде

gxX + f(p,,x,+ ... +р„Х„ + Х,):

= (g + f(x. X,.....х„))х"-\-х +

5 = 1

+ S /ар(. 1.....п)а+Р{ 1.....п) (30.S)

а,р=1

.....(30.10)

Рассмотрим подробнее функцию Р. Все члены, входящие в выражение Р, можно, очевидно, разбить на следующие четыре группы:

на члены, свободные от лг.....х„, на члены, линейные относительно

Xi.....дг„, на члены, квадратичные относительно Ху,

члены, имеющие относительно Ху, . Очевидно, что все члены последней группы можно включить в выражение (30.10). Нам остается поэтому рассмотреть только первые три группы членов.

Все члены, свободные ог Ху.....х„, содержатся, очевидно,

только в выражении (30.5). Совокупность всех этих членов есть

gxA:(0)(x) = g2x«+ + gg„ + iX»+2+ ...

Первый из них выписан в (30.8) явно, а остальные могут быть включены в выражение (30.9). Следовательно, функция Р не содержит членов, свободных от Ху.....х„.

Члены, линейные относительно х.....х„, входят в выражение

производной (30.8) как через совокупность (30.4), так и через совокупность (30.5). Если эти члены имеют относительно х порядок, не меньший от+1, то они могут быть, очевидно, включены в выражение (30.9). Таким образом, в функции Р содержатся лишь те линейные относительно Ху.....х„ члены, которые имеют относительно х

порядок k, где k==2.....т.

Рассмотрим, наконец, члены, квадратичные относительно дг.....х„.

Если эти члены имеют общий порядок выше второго, то они могут быть включены в выражение (30.10) и, следовательно, в функцию Р не

входят. Члены же, квадратичные относительно лг.....х п имеющие

только второй порядок, т. е. обладающие постоянными коэффициентами, содержатся, очевидно, все в выражении

ZiiPsiXi-\- ... +PsnXn)-s] = ZiX]

и, следовательно, в функцию Р также не входят. Таким образом, функция Р имеет вид

Р = хР iXi.....х„) + ... + хР (Xi.....х„), (30.11)

где PiiXi, .... х„) - некоторые линейные формы от Xi.....х„.

где функции / и / обращаются в нуль при х = Ху- ... = х = 0, а Р - совокупность всех членов, которые не могут быть включены ни в выражение

fix, ху.....х„)х«+1. (30.9)

ни в выражение

Наличие в выражении производной слагаемого (30.11) нарушает ее знакоопределенность. Чтобы избавиться от этого слагаемого, поступим следующим образом.

Добавим к функции Vj член xQ (х.....х„), где - подлежащая еще определению линейная форма переменных Xj. Другими словами, рассмотрим вместо Vi функцию

Vt = jgx + W(x,.....x„) + x*Q,(,.....х„). (30.12)

Член xQjCXj, х„) внесет в выражение производной два слагаемых: слагаемое

kx-Q.iXi.....х„)Х(х, xi.....х„) (30.13)

и слагаемое

xY(PslXx+ ... +PsnXn + X,). (30.14)

Рассмотрим подробней все члены, входящие в эти слагаемые. Нас будут при этом интересовать лишь те из этих членов, которые

влияют на знак производной, т. е. члены, не содержащие .....х„,

члены, линейные относительно х х„, и члены, квадратичные относительно х, х„.

Члены, свободные от дг,.....х„, содержатся, очевидно, только

в слагаемом (30.14). Совокупность этих членов мы получим, полагая в этом слагаемом х- ... =х„ = 0. Следовательно, эта совокупность есть

xXfix). (30.15)

Так как по условию тт, то все члены, входящие в (30.15), имеют порядок не ниже (m-{-k)-ro и, следовательно, могут быть включены в выражение (30.9). Таким образом, все новые члены,

свободные от х.....х„, не влияют на знакоопределенность

производной.

Рассмотрим теперь члены, линейные относительно х, .... х„. Покажем, что все эти члены (входящие в слагаемые (30.13) и (30.14)) имеют относительно х порядок, не меньший k, и притом совокупность всех членов k-ro порядка относительно х имеет вид

xiPslXx ...+PsnXn) (30.16)

5 = 1

Действительно, интересующие нас члены содержатся как в слагаемом (30.13), так и в слагаемом (30.14). Чтобы получить эти члены