Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 30] система (rt-f- 1)-го порядка; частный случай 95

являлась бы при достаточно малых х-.....х„ определенно-положительной функцией относительно х, .... л:„.

С другой стороны, если бы функция X it зависела от Xj.....х„,

т. е. если бы X = О, то производная по времени от функции S",

составленная в силу первого уравнения (30.2), равная

gxX = gx+ + gg„,,x++ ... +gxX, (30.5)

была бы при X достаточно малом определенно-положительной относительно X. Поэтому при указанных условиях производная по времени от функции

V,:=gx- + W{x,.....x„), (30.6)

составленная в силу полной системы уравнений (30.2), была бы определенно-положительной функцией всех я--1 переменных х, Xi, .... х„ в некоторой достаточно малой окрестности начала координат. Эту производную можно было бы представить в виде

(g + nx" + x]+ ... +2+ 2 /„рХ„Хр, (30.7)

я, Р=1

где /-некоторая функция от х, обращающаяся в нуль при х = 0, а -некоторые функции от х,.....х, обращающиеся в нуль

при х, = ... =л:„ = 0.

Но так как функция X содержит л;,, ..., х„, а функции содержат X, то производная от Vj в силу (30.2) не будет определенно-положительной. В ней появятся члены, нарушающие знакоопределенность.

Чтобы выяснить общий вид этих членов, заметим прежде всего, что выражение (30.7) останется, очевидно, знакоопределенным, если функция / содержит не только переменную х, но и переменные

л:,.....х, а функции / содержат не только переменные х.....х,

но и переменную х. Важно только, чтобы функции / и обращались в нуль при x = a;, = ... =х„ = 0.

Учитывая это обстоятельство, запишем производную от Vi в силу уравнений (30.2) в виде

gxX + f(p,,x,+ ... +р„Х„ + Х,):

= (g + f(x. X,.....х„))х"-\-х +

5 = 1

+ S /ар(. 1.....п)а+Р{ 1.....п) (30.S)

а,р=1



.....(30.10)

Рассмотрим подробнее функцию Р. Все члены, входящие в выражение Р, можно, очевидно, разбить на следующие четыре группы:

на члены, свободные от лг.....х„, на члены, линейные относительно

Xi.....дг„, на члены, квадратичные относительно Ху,

члены, имеющие относительно Ху, . Очевидно, что все члены последней группы можно включить в выражение (30.10). Нам остается поэтому рассмотреть только первые три группы членов.

Все члены, свободные ог Ху.....х„, содержатся, очевидно,

только в выражении (30.5). Совокупность всех этих членов есть

gxA:(0)(x) = g2x«+ + gg„ + iX»+2+ ...

Первый из них выписан в (30.8) явно, а остальные могут быть включены в выражение (30.9). Следовательно, функция Р не содержит членов, свободных от Ху.....х„.

Члены, линейные относительно х.....х„, входят в выражение

производной (30.8) как через совокупность (30.4), так и через совокупность (30.5). Если эти члены имеют относительно х порядок, не меньший от+1, то они могут быть, очевидно, включены в выражение (30.9). Таким образом, в функции Р содержатся лишь те линейные относительно Ху.....х„ члены, которые имеют относительно х

порядок k, где k==2.....т.

Рассмотрим, наконец, члены, квадратичные относительно дг.....х„.

Если эти члены имеют общий порядок выше второго, то они могут быть включены в выражение (30.10) и, следовательно, в функцию Р не

входят. Члены же, квадратичные относительно лг.....х п имеющие

только второй порядок, т. е. обладающие постоянными коэффициентами, содержатся, очевидно, все в выражении

ZiiPsiXi-\- ... +PsnXn)-s] = ZiX]

и, следовательно, в функцию Р также не входят. Таким образом, функция Р имеет вид

Р = хР iXi.....х„) + ... + хР (Xi.....х„), (30.11)

где PiiXi, .... х„) - некоторые линейные формы от Xi.....х„.

где функции / и / обращаются в нуль при х = Ху- ... = х = 0, а Р - совокупность всех членов, которые не могут быть включены ни в выражение

fix, ху.....х„)х«+1. (30.9)

ни в выражение



Наличие в выражении производной слагаемого (30.11) нарушает ее знакоопределенность. Чтобы избавиться от этого слагаемого, поступим следующим образом.

Добавим к функции Vj член xQ (х.....х„), где - подлежащая еще определению линейная форма переменных Xj. Другими словами, рассмотрим вместо Vi функцию

Vt = jgx + W(x,.....x„) + x*Q,(,.....х„). (30.12)

Член xQjCXj, х„) внесет в выражение производной два слагаемых: слагаемое

kx-Q.iXi.....х„)Х(х, xi.....х„) (30.13)

и слагаемое

xY(PslXx+ ... +PsnXn + X,). (30.14)

Рассмотрим подробней все члены, входящие в эти слагаемые. Нас будут при этом интересовать лишь те из этих членов, которые

влияют на знак производной, т. е. члены, не содержащие .....х„,

члены, линейные относительно х х„, и члены, квадратичные относительно х, х„.

Члены, свободные от дг,.....х„, содержатся, очевидно, только

в слагаемом (30.14). Совокупность этих членов мы получим, полагая в этом слагаемом х- ... =х„ = 0. Следовательно, эта совокупность есть

xXfix). (30.15)

Так как по условию тт, то все члены, входящие в (30.15), имеют порядок не ниже (m-{-k)-ro и, следовательно, могут быть включены в выражение (30.9). Таким образом, все новые члены,

свободные от х.....х„, не влияют на знакоопределенность

производной.

Рассмотрим теперь члены, линейные относительно х, .... х„. Покажем, что все эти члены (входящие в слагаемые (30.13) и (30.14)) имеют относительно х порядок, не меньший k, и притом совокупность всех членов k-ro порядка относительно х имеет вид

xiPslXx ...+PsnXn) (30.16)

5 = 1

Действительно, интересующие нас члены содержатся как в слагаемом (30.13), так и в слагаемом (30.14). Чтобы получить эти члены



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0088