Главная - Литература

0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 17

Может случиться, что невозмущенное движение не только устойчиво, но и что все возмущенные движения, для которых начальные возмущения достаточно малы, при неограниченно возрастающем t стремятся асимптотически к невозмущенному. В этом случае мы будем говорить, что невозмущенное движение устойчиво асимпт.о-тически.

§ 3. Дифференциальные уравнения возмущенного движения.

Для исследования устойчивости целесообразно преобразовать уравнения движения к новым переменным:

Xs = ys-fs(i) (s=\, 2, п). (3.1)

Здесь f(t) - частное рещение уравнений (2.1), соответствующее невозмущенному движению и, следовательно, - возмущения. Полученные таким образом преобразованные уравнения

~аГ - si Х\.....Xj =

Y,{t. + х„ + /„)-ГДЛ /,...../„) (3.2)

называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Каждому движению рассматриваемой системы соответствует частное рещение уравнений (3.2). В частности, невозмущенному движению соответствует, очевидно, тривиальное рещение = ... = г=х„ = 0, которое, следовательно, система (3.2) должна иметь. А для этого необходимо, чтобы функции X{t, Xj, х„) обращались в нуль при ... =х„ = 0, что действительно имеет место, как это непосредственно видно из уравнений (3.2).

Б переменных х неравенства (2.2) и (2.3) принимают соответственно вид

х,(д<т1, (3.3)

\х,Щ<г, (3.4)

и, следовательно, определение устойчивости формулируется следующим образом.

Невозмущенное движение устойчиво, если для всякого положительного числа 8, как бы мало оно ни было, можно подобрать другое положительное число \\{г), такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени выполняются неравенства (3.3), при всех tt будут выполняться неравенства (3.4).

Если невозмущенное движение устойчиво и если число \\ можно выбрать настолько малым, что для всех возмущенных движений,



dt Jo

ное рещение уравнения (3.6) имеет вид

Ф = /(0.

где f(t) - некоторая периодическая функция, которую нам нет необходимости выписывать явно.

Полагая х = ф - f (t), получим дифференциальное уравнение возмущенного движения в виде

= - Т si" (- + / (О) + т sin 0.

или, разлагая в ряд по степеням х,

= -4xcos/(0 + --x2sin/(0+ ... (3.7)

Это уравнение может быть, конечно, представлено в виде системы двух уравнений первого порядка.

Пример 2. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг закрепленной точки по инерции. Дифференциальные уравнения движения имеют вид

В) qr = 0,

С) гр = 0,

(3.8)

А) pq = 0.

удовлетворяющих неравенствам (3.3), будут выполняться условия

limx,(O = 0, (3.5)

то невозмущенное движение называется устойчивым асимптотически 1).

Рассмотрим несколько примеров на составление уравнений возмущенного движения.

Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим колебания математического маятника длиной /, описываемые, как известно, дифференциальным уравнением

= 5Шф, (3.6)

где ф - угол отклонения от вертикали. Пусть требуется исследовать устойчивость относительно ф и движения, определяемого

начальными условиями ф(0) = а, (-] =0. Соответствующее част-



§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 19

где р, q, г - проекции вектора мгновенной угловой скорости на подвижные оси координат, совпадающие с главными осями инерции тела в закрепленной точке, а А, В, С - моменты инерции относительно этих осей.

Уравнения (3.8) имеют частное решение

jO = 0 = const., q = r = 0 (3.9)

и два аналогичных частных решения, соответствующие двум другим осям координат. Принимая движение (3.8) за невозмущеиное, положим:

х = р - и, y - q, z - r

и, подставляя в (3.8), получим дифференциальные уравнения возмущенного движения:

« dx

J(C - B)yz =0,

В- + (Л-С)(х+0)2 = О, С4{В-А){х-\-)у = 0.

(3.10)

В общем случае дифференциальные уравнения возмущенного движения содержат явно время t. Но может, однако, случиться, что эти уравнения не содержат t. Так, например, будет всегда, когда исследуется устойчивость относительно координат и скоростей равновесия какой-нибудь голономной системы со стационарными связями, подверженной действию сил, не зависящих явно от t. В этом случае уравнения движения (2.1) не содержат явно t, и поскольку функции fs{t) в рассматриваемом случае обращаются в постоянные, то и уравнения (3.2) возмущенного движения также не будут содержать t.

Но уравнения возмущенного движения могут не содержать t и тогда, когда исследуется устойчивость не равновесия, а движения. Действительно, поскольку в уравнениях (2.1) переменные у являются, вообще говоря, не координатами и скоростями, а некоторыми функциями этих величин, то вполне возможно, что для рассматриваемого невозмущенного движения они будут постоянными, несмотря на то, что координаты и скорости изменяются. Если при этом уравнения (2.1) не зависят от t, то и уравнения возмущенного движения также не будут зависеть от t.

Мы будем в дальнейшем называть невозмущенное движение установившимся, если соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения не содержат явно t. Примером может служить рассмотренное выше движение (3.9) твердого тела вокруг закрепленной точки: соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения (3.10) не содержат явно t.



0 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0422