§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 17

Может случиться, что невозмущенное движение не только устойчиво, но и что все возмущенные движения, для которых начальные возмущения достаточно малы, при неограниченно возрастающем t стремятся асимптотически к невозмущенному. В этом случае мы будем говорить, что невозмущенное движение устойчиво асимпт.о-тически.

§ 3. Дифференциальные уравнения возмущенного движения.

Для исследования устойчивости целесообразно преобразовать уравнения движения к новым переменным:

Xs = ys-fs(i) (s=\, 2, п). (3.1)

Здесь f(t) - частное рещение уравнений (2.1), соответствующее невозмущенному движению и, следовательно, - возмущения. Полученные таким образом преобразованные уравнения

~аГ - si Х\.....Xj =

Y,{t. + х„ + /„)-ГДЛ /,...../„) (3.2)

называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Каждому движению рассматриваемой системы соответствует частное рещение уравнений (3.2). В частности, невозмущенному движению соответствует, очевидно, тривиальное рещение = ... = г=х„ = 0, которое, следовательно, система (3.2) должна иметь. А для этого необходимо, чтобы функции X{t, Xj, х„) обращались в нуль при ... =х„ = 0, что действительно имеет место, как это непосредственно видно из уравнений (3.2).

Б переменных х неравенства (2.2) и (2.3) принимают соответственно вид

х,(д<т1, (3.3)

\х,Щ<г, (3.4)

и, следовательно, определение устойчивости формулируется следующим образом.

Невозмущенное движение устойчиво, если для всякого положительного числа 8, как бы мало оно ни было, можно подобрать другое положительное число \\{г), такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени выполняются неравенства (3.3), при всех tt будут выполняться неравенства (3.4).

Если невозмущенное движение устойчиво и если число \\ можно выбрать настолько малым, что для всех возмущенных движений,

dt Jo

ное рещение уравнения (3.6) имеет вид

Ф = /(0.

где f(t) - некоторая периодическая функция, которую нам нет необходимости выписывать явно.

Полагая х = ф - f (t), получим дифференциальное уравнение возмущенного движения в виде

= - Т si" (- + / (О) + т sin 0.

или, разлагая в ряд по степеням х,

= -4xcos/(0 + --x2sin/(0+ ... (3.7)

Это уравнение может быть, конечно, представлено в виде системы двух уравнений первого порядка.

Пример 2. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг закрепленной точки по инерции. Дифференциальные уравнения движения имеют вид

удовлетворяющих неравенствам (3.3), будут выполняться условия

limx,(O = 0, (3.5)

то невозмущенное движение называется устойчивым асимптотически 1).

Рассмотрим несколько примеров на составление уравнений возмущенного движения.

Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим колебания математического маятника длиной /, описываемые, как известно, дифференциальным уравнением

= 5Шф, (3.6)

где ф - угол отклонения от вертикали. Пусть требуется исследовать устойчивость относительно ф и движения, определяемого

начальными условиями ф(0) = а, (-] =0. Соответствующее част-

§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 19

где р, q, г - проекции вектора мгновенной угловой скорости на подвижные оси координат, совпадающие с главными осями инерции тела в закрепленной точке, а А, В, С - моменты инерции относительно этих осей.

Уравнения (3.8) имеют частное решение

jO = 0 = const., q = r = 0 (3.9)

и два аналогичных частных решения, соответствующие двум другим осям координат. Принимая движение (3.8) за невозмущеиное, положим:

х = р - и, y - q, z - r

и, подставляя в (3.8), получим дифференциальные уравнения возмущенного движения:

« dx

J(C - B)yz =0,

В- + (Л-С)(х+0)2 = О, С4{В-А){х-\-)у = 0.

(3.10)

В общем случае дифференциальные уравнения возмущенного движения содержат явно время t. Но может, однако, случиться, что эти уравнения не содержат t. Так, например, будет всегда, когда исследуется устойчивость относительно координат и скоростей равновесия какой-нибудь голономной системы со стационарными связями, подверженной действию сил, не зависящих явно от t. В этом случае уравнения движения (2.1) не содержат явно t, и поскольку функции fs{t) в рассматриваемом случае обращаются в постоянные, то и уравнения (3.2) возмущенного движения также не будут содержать t.

Но уравнения возмущенного движения могут не содержать t и тогда, когда исследуется устойчивость не равновесия, а движения. Действительно, поскольку в уравнениях (2.1) переменные у являются, вообще говоря, не координатами и скоростями, а некоторыми функциями этих величин, то вполне возможно, что для рассматриваемого невозмущенного движения они будут постоянными, несмотря на то, что координаты и скорости изменяются. Если при этом уравнения (2.1) не зависят от t, то и уравнения возмущенного движения также не будут зависеть от t.

Мы будем в дальнейшем называть невозмущенное движение установившимся, если соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения не содержат явно t. Примером может служить рассмотренное выше движение (3.9) твердого тела вокруг закрепленной точки: соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения (3.10) не содержат явно t.