в слагаемом (30.13), необходимо в функции X взять члены, не содержащие Ху.....x„. Эти члены имеют порядок не ниже т, причем

от>>2. Следовательно, все члены, линейные относительно Ху.....х„,

содержащиеся в слагаемом (30.13), имеют порядок относительно х, не меньший k~\-\.

Обращаясь теперь к слагаемому (30.14), мы видим, что кроме (30.16) мы получим еще члены интересующего нас вида, если мы

в функциях Х выделим все члены, линейные относительно Ху.....х„.

Но каждый из этих членов содержит, по крайней мере, первую степень х, так как все члены в Х имеют порядок не ниже второго.

Поэтому все члены, линейные относительно Ху.....x„, содержащиеся

в (30.14) и происходящие от функций Х, имеют порядок относительно X, не меньший &-J-1.

Итак, все члены, линейные относительно Ху.....х„, которыми

dVi „ dVi

производная- отличается от производной . имеют относительно X порядок не ниже k, причем совокупность всех членов, имеющих относительно х порядок k, дается выражением (30.16).

Что касается членов, квадратичных относительно Ху, . . ., х„, то нас могут, интересовать лишь те из них, которые имеют общий порядок, равный двум, так как остальные могут быть включены в выражение (30.10). Но такого рода членов слагаемое x*Qj в выражение производной не вносит. Действительно, слагаемое (30.13) содержит члены не ниже третьего порядка, а слагаемое (30.14) имеет множитель л:*, и следовательно, члены, квадратичные относительно Ху.....х„,

будут иметь общий порядок, превышающий два.

Резюмируя вышесказанное, мы приходим к заключению, что производная функция (30.12) может быть представлена в следующем виде:

ял

- = (g + 7)"-4-S4+ S /apVp+2+ ••• 5=1 а,р=1

•• +*-/*-1 + *5 + х*+1Я,.,1+ ... Н-х-Р, (30.17)

где /, /„р- функция такого же типа, как и /, Д, Pj.....

линейные формы от .....х„, вообще говоря, отличные от Pj + i, ....

5 = + S (Psii + • • . + Ляя) -gf • (30.18)

Выберем теперь линейную форму таким образом, чтобы выражение (30.18) обратилось тождественно в нуль. Это всегда возможно сделать на основании теоремы 2 § 20, так как все корни уравнения (28.5) имеют отрицательные вещественные части.

При таквм выборе в выражении (30.17) уничтожится один из членов, нарушающих его знакоопределенность. При этом другие члены этого типа, имеющие относительно х меньший порядок, будут

такими же, как и в выражении производной . Мы можем поэтому

последовательно, добавляя к функции члены xQi, xQj.....x"Q„

и подбирая соответствующим образом линейные формы Q,-, уничтожить в выражении производной все члены, нарушающие ее знакоопределенность. Другими словами, мы можем линейные формы выбрать таким образом, чтобы производная от функции

V~gx + Wix„ x„) + xQ,+ ...+x"Q„, (30.19)

в силу системы (30.2) имела вид

ig + Fix, X,.....х„))х"н +

XaXii,

5 = 1 а, р=1

где F, Faf, - некоторые функции от х, Ху.....л:„, обращающиеся

в нуль при л: = = ... =: л:„ = 0.

Функция получилась определенно-положительной. Рассмотрим

функцию V. Как было указано выше, квадратичная форма W (Xi.....х„)

определенно-отрицательна. Поэтому если < О, то и квадратичная форма

jgx+W(Xi.....х„) (30.20)

п-(-1 переменных х, Xj будет также определенно-отрицательной. Но тогда определенно-отрицательной будет и функция (30.19), и она, следовательно, будет удовлетворять всем условиям теоремы Б, откуда вытекает асимптотическая устойчивость невозмущенного движения.

Напротив, если > О, то квадратичная форма (30.20), а следовательно, и функция V будет знакопеременной. Функция V будет, следовательно, удовлетворять всем условиям теоремы В, и невозмущенное движение будет неустойчиво.

Допустим теперь, что т есть число четное и покажем, что невозмущенное движение независимо от знака g неустойчиво.

В рассматриваемом случае функцию Ляпунова пытаемся искать в виде

V, = agx + W(x,.....х„). (30.21)

где по-прежнему W (х.....х„) обозначает квадратичную форму,

удовлетворяющую уравнению (30.3), а - некоторое положительное

5 = 1

= + Лх" + %х1+ /apVp + P. (30.22)

5=1 а, р=1

где /, /ар обращаются в нуль при х = Xi = ... = х„ = 0, а Я-совокупность членов, которые не могут быть включены ни в выражение

W + nx"", (30.23)

ни в выражение (30.10).

Анализируя все члены, входящие в (30.22), мы видим, что те из НИХ; которые не содержат л:,, х„, могут быть все включены в выражение (30.23). То же самое относится и к членам, линейным относительно Ху.....х„, если они содержат х в степени, не меньшей т. Члены же вида

хРи хР....."-„-1.

где Pi - линейные формы величин х.....л:„, должны быть отнесены к функции Р.

Из членов более высоких порядков относительно Xj нас могут интересовать квадратичные, имеющие общий порядок, равный двум, т. е. обладающие постоянными коэффициентами. Все остальные члены, квадратичные относительно Ху.....х„, могут быть включены в выражение (30.10).

В отличие от случая нечетного т выражение содержит квадратичные относительно Xj члены с постоянными коэффициентами, отличные от 2 1- Эти члены содержатся в ag и их совокупность имеет вид

a?gX(>(Xi, .... х„), (30.24)

где А* - квадратичная форма переменных Xj, представляющая собой совокупность членов второго порядка в разложении функции X (О, Ху.....х„).

число, выбором которого мы распорядимся позже. Функция (30.21), как и в случае нечетного т, представляет собой сумму функций Ляпунова, построенных по отдельности для одного первого уравнения системы (30.2), если в нем отбросить все члены, содержащие Xj, и для последних п уравнений этой системы, если в них отбросить все члены, содержащие х.

Производная от (30.21) по времени, составленная в силу полной системы (30.2), может быть представлена в виде