Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Таким образом, функция Р имеет вид Р = aV*" {X,.....х„) + хР, (х,.....х„)-\-...

.....х„).

Член (30.24), входящий в Р, не нарушит знакоопределенности производной, если число выбрать настолько малым, чтобы форма

ogX<\x,.....х„) 4-x1

была определенно-положительной. Что же касается остальных членов, входящих в Р, то их можно уничтожить таким же точно приемом, какой мы применили в случае нечетного т. Для этого нужно вместо функции (30.21) рассмотреть функцию

V = a?gx + W (X,.....х„) + xQ, + ... + x"-Q „

где Qi.....Q„ i-некоторые линейные формы переменных л:,, ..., х„.

Эти формы можно подобрать таким образом, чтобы производная от V приняла вид

= (ay + F)x« + aV<4S+ i Fa,x.x„ (30.25)

i=l a, p=l

где F и Fa - функции такого же вида, как и / и Др.

Если а? достаточно мало, то производная (30.25) есть функция определенно-положительная. Сама же функция V, разложение которой начинается линейными членами, будет, очевидно, знакопеременной. Функция V удовлетворяет, таким образом, всем условиям теоремы В. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Таким образом, все утверждения о решении задачи устойчивости в рассматриваемом случае полностью доказаны.

§ ЗЬ Исследование задачи для системы («--1)-го порядка в общем случае.

Мы переходим теперь к рассмотрению общего случая, когда правые части уравнений возмушенного движения (28.6) не подчинены никаким ограничительным условиям.

Для решения задачи постараемся преобразовать уравнения возмущенного движения к такому виду, для которого выполняются ограничительные условия предыдущего параграфа. С этой целью рассмотрим систему уравнений

Л = ЛЛ+---+ЛЛ + Л + . = 0 (5=1, 2, ....«), (31.1)

определяющих переменные х как функции переменной х. Левые части этих уравнений обращаются в нуль при х = Xi = ... = х„ = 0.



Функциональный же определитель по переменным Ху.....х„ этой

системы уравнений при х = х-. . . - х - О отличен от нуля. Действительно,

d(fi...../„)

1, ...,Х„) ixXjO 1*!

д{х,

так как уравнение (28.5) не имеет нулевого корня. Поэтому на основании известной теоремы существования неявных функций существует одно и только одно решение системы (31.1), при котором функции х обращаются в нуль при л; = О, и эти функции будут разлагаться в ряды по степеням х, сходящиеся при достаточно малых значениях этой величины. Пусть

йЛ) = л1"х + Л?х+... (31.2)

будут указанные функции, так что

р,,и,+ ...р,„и„-\-р,х + Х,(х, «1.....и„) = 0. (31.3)

Сделаем теперь в уравнениях (28.6) преобразование переменных

х, = 1, + иАх). (31.4)

Будем иметь:

= Х{х, ii + «,(x).....„ + и„()).

Psn (in

-i-x(x, + .....!„+«„)-

duc dx

или на основании (31.3)

X{x,l,.....In).

%- = Pslll- +Psnln + X,{x, I,. ...

(s= 1, 2, . ., Я),

XX(x.l,u,.....!„ + «„),

X, = X,(x. + .....L + «„)-

- X,(x. «,.....u„)

In)-

dx dt

(31.5)

(31.6)

- аналитические функции переменных x, Ij, разложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.

Так как новые переменные обращаются одновременно в нуль тогда и только тогда, когда обращаются одновременно в нуль старые переменные, то задача устойчивости по отноше[шю к одним переменным



А"*"* (х) = Х{х, 0.....0) = X (х. Kj (х).....и„{х)),

Xf\x)=XAx. 0.....0) = -.Х°>.

(31.7)

откуда непосредственно следует, что разложение функций Xf начинается членами, порядок которых не ниже порядка младшего члена в разложении функции Х"*.

Следовательно, если функция Л""* не обращается тождественно в нуль, то система (31.5) удовлетворяет всем условиям предыдущего параграфа и для решения задачи устойчивости мы можем воспользоваться полученными там результатами. Если же Х°~0, то на основании (31.7) X? = 0 и условия предыдущего параграфа не выполняются. Этот случай является особенным и требует специального рассмотрения. Мы этим з.аймемся в § 33. Сейчас мы рассмотрим неособенный случай.

В этом случае согласно результатам предыдущего параграфа мы должны рассмотреть лишь первое из уравнений (31.5), отбросить в нем все члены, зависящие от ,.....и решать задачу устойчивости для полученного таким образом уравнения

(31.8)

Но на основании (31.7) правая часть этого уравнения есть результат подстановки в правую часть первого из уравнений (28.6) вместо величин Xj функций (31.2). Следовательно, уравнение (31.8) имеет вид

-=X(x,Ui(x).....и„(х)). (31.9)

Задача устойчивости для этого уравнения решается младшим Членом в разложении его правой части. Если степень этого младшего члена нечетная, а коэффициент при нем отрицателен, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически. Во всех остальных случаях оно неустойчиво.

Таким образом, для решения задачи устойчивости в интересующем нас случае, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет один нулевой корень при остальных корнях

эквивалентна задаче устойчивости по отношению к другим переменным. Мы можем поэтому для решения задачи рассматривать уравнения (31.5).

Уравнения (31.5) удовлетворяют второму и третьему ограничительному условиям, введенным в предыдущем параграфе. Действительно, коэффициенты при первой степени х в последних п уравнениях (31.5) равны нулю, а для функций Х° и Xf на основании (31.6) имеем:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [31] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0013