Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

С отрицательными вещественными частями, можно руководствоваться следующим правилом:

Г) приводим уравнения возмущенного движения к виду (28.6);

2) приравниваем нулю правые части некритических уравнений и решаем относительно Xj полученные таким образом уравнения (31.1);

3) полученными функциями от л: заменяем величины Xj в правой части критического уравнения, и если результат подстановки не обращается тождественно в нуль, то решаем задачу устойчивости для полученного таким образом одного уравнения с одной неизвестной функцией (31.9).

Для этого рассматриваем лишь младший член в разложении правой части уравнения (31.9). Пусть этот член будет gx"". Тогда при т нечетном и < О невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически. В других случаях оно неустойчиво.

§ 32. Примеры.

В предыдущем параграфе мы видели, что для решения задачи устойчивости в интересующем нас критическом случае необходимо прежде всего разрешить систему уравнений (31.1) относительно переменных л:. Для действительного вычисления этого решения будем искать его в виде рядов

Xs (X) = ВРх + fif л: + ... (S = 1, 2. .... л) (32.1)

с неопределенными коэффициентами Б/. Для определения этих коэффициентов подставим ряды (32.1) в уравнения (31.1) и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях л:. Приравнивая нулю коэффициенты при первой степени л:, мы получим систему уравнений

для определения 5. Эти уравнения линейны, обладают отличным от нуля определителем и дают одно и только одно решение для М*. Точно так же, приравнивая нулю коэффициенты при хК мы получим для определения Б*/ систему уравнений вида

Р.4-.2+Л+ П" = О (s = l, 2.....Л), (32.3)

где Р/ - некоторые полиномы относительно В}К Bf.....Б"*.

Уравнения (32.3) дают возможность последовательно определять коэффициенты Bs по мере возрастания их порядка.

После того как коэффициенты Б* уже вычислены, необходимо подставить ряды (32.1) в функцию X вместо х. Младший член полученного таким образом ряда относительно л: и решает, как мы видели, задачу устойчивости. Но так как нас интересует лишь младший член



§ 32] ПРИМЕРЫ 105

указанного ряда, то при действительном проведении вычислений достаточно в общем случае подсчитать в рядах (32.1) только первые члены Вдг, которые и определят младший член в функции X. Если, однако, окажется, что в результате подстановки (32.1) в функцию X коэффициент при младшем члене благодаря некоторым зависимостям между коэффициентами функций X ч Х, обратится в нуль, то придется в рядах (32.1) учесть и члены Bfx, а в некоторых случаях и члены более высоких порядков.

Заметим, что если все величины равны нулю, то уравнения (32.2) дают В*/ = В*= ... = B<J>z=0 и, следовательно, разложение функций X, {х) начинаются членами не ниже второго порядка. Вообще,

если во всех функциях р,х--\- Х,{х, 0.....0) нет членов до k-ro

порядка включительно, но хотя бы в одной из этих функций имеются члены (&-f-l)-ro порядка, то разложения (32.1) начнутся членами (A-f- 1)-го порядка.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Исследуем устойчивость регулируемой системы, описываемой дифференциальными уравнениями

-=-РА + /(а) (5=1. 2.....п).

= PiXi+ ... -}-р„х„-/(а).

(32.4)

где и Pj - постоянные, причем положительны, а /(а) - некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условию

а/(а)>0. (32.5)

В § 12 были установлены достаточные условия устойчивости положения равновесия о~х~ ... = л;„ = О рассматриваемой системы при любых начальных возмущениях и при любом выборе функции / (о), удовлетворяющей условию (32.5). При этом было показано, что для выполнимости этих условий необходимо, чтобы удовлетворялось неравенство (12.9):

Покажем сейчас), что если / (а) является аналитической функцией, разложение которой начинается членами не ниже второго порядка, то условие (32.6) является необходимым для устойчивости. Более того, если требуется, чтобы равновесие было устойчиво при достаточно малых начальных возмущениях, то это условие является также и достаточным.

) Лурье А. И., Об устойчивости одного класса регулируемых систем. ПММ, т. XV, вып, 5, 1951.



dt dXs

dt ~ Здесь

\ Pi Рл /

следовательно, разложения функций Xs\x) начинаются членами того же порядка, что и разложение функции Х\х). Поэтому мы имеем дело с частным случаем, рассмотренным в § 30, и в дальнейших преобразованиях уравнений нет необходимости.

Для того чтобы движение было устойчиво, необходимо, чтобы младший член в разложении Л*(л;) был нечетного порядка и имел отрицательный коэффициент. Первое из этих условий выполняется, а второе приводит к неравенству (32.6).

Пример 21). Пусть предложена система дифференциальных уравнений возмущенного движения вида

4f = (3/л-1)х2-(/л-1)у2-(л-1)г:2 +

-\-{Ъп.- \)уг~2т.гх - 2пху X {х, у, z)

у + X + {х - y-2z){y + Z - х)~- у- X + Y {X. у, z)

= -z + x~{x + 2y-z)(y + z-x)= - z + x+Z{x, у, z)

Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет корни-1, -1 и 0. Система уже приведена к виду (28.6). Уело

) Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения., Гостехиздат, 1950.

В самом деле, пусть

/(0) = fla« + fl,a«+i+ ....

где т 2.

Из (32.5) вытекает, что число т является обязательно нечетным и й>0.

Характеристическое уравнение системы первого приближения имеет л отрицательных корней -р и один корень, равный нулю. Эта система первого приближения имеет первый интеграл

хаЛ-ЬХуЛ- ... 4-л:„ = const. Pi Рл "

Приняв его за новую переменную вместо а, мы приведем уравнения (32.4) к виду (28.6):

\ Pi Р2 Рл / I Pi Рл



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0016