Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 32] примеры 107

вия § 30 здесь не выполнены, и мы должны поэтому воспользоваться общим приемом предыдущего параграфа. Полагая

- у + д;+К = -z + a; + Z = 0, (32.7)

попытаемся удовлетворить этим уравнениям относительно у и z рядами, расположенными по степеням х. Коэффициенты при первой степени х будут, очевидно, равны единице, и мы можем написать:

у(х) = хА,х + А,х+ .... )

z(x) = x + B,x+B,x+ i

Подставляя эти ряды в функцию X, получим, что член второго порядка в ней выпадает, и функция эта примет вид

Х(х,у{х), z(x))=in-2m-\-l){A2-\-B2)xCx*4-Dx-\-... (32.9)

Следовательно, в рассматриваемом случае необходимо подсчитать коэффициенты А2 и Bg- Для их вычисления приравняем нулю коэффициенты при х в уравнениях (32.7) после подстановки в них рядов (32.8). Тогда легко получим, что 2=2, В - 2. Но тогда в выражении (32.9) обратится в нуль коэффициент при и необходимо поэтому вычислить С, а для этого придется вычислить коэффициенты Лз и В3. Приравнивая нулю в (32.7) коэффициенты при х, найдем: Лз = Вз = -6, после чего получим С = 4(5т - 7п). Если этот коэффициент отличен от нуля, то невозмущенное движение неустойчиво, так как разложение функции (32.9) начинается четным порядком. Допустим, что 5т = 7п. Тогда, вычисляя А и В, найдем Л4 = - 30, В4 = 30, после чего получим D == 24 (/те - п). Этот коэффициент будет отрицательным при тип отрицательных fi положительным при тип положительных. В первом случае невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а во втором случае оно неустойчиво.

Если т = п = 0, то требуется рассмотреть дальнейшие приближения. Однако в этом случае справедливо тождество

2X = (z-2y-x){-y + x + y)-\-(y - -2x)(-z + x-\-Z).

следовательно, на основании (32.7) X (х, у{х), z(x)) = 0, м имеет место особенный случай.

Пример 3). Пусть система уравнений возмущенного движения имеет вид

~ = ах4-Ьху4-су = Х (х. у),

~ = - y-\-kx-\-lx-\- тху -\-пу = - y-\-kx-\-Y(x, у), где а. Ь, с, k, I, т. п - постоянные.

) Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, 1950.



Составляя уравнение

- y4-/fex + /x2 4-/rexy + rt/ = 0, (32.10)

будем иметь:

и, подставляя этот ряд в X (х, у), получим:

Х(х. у(х)) = А2ХАх-{-Ах*-{- ....

Л2 = й + *й4-с Лз = (* + 2cfe) Бг.

А4 = (Ь + 2ск)ВзсВ1.

Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо, чтобы выполнялось условие

A2 = a + bk + ck = 0. (32.11)

Допустим, что это условие выполнено. Тогда необходимо рассмотреть коэффициент Л3, для определения которого нужно вычислить В. Вычисляя эту величину, найдем;

Б2 = / + /гей + л2. (32.12)

Здесь необходимо р-ассмотреть два случая, в зависимости от того, будет ли величина В равна нулю или нет. Допустим сначала, что В не нуль. Тогда если b-\-2ck фО, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво при B2(b-\-2ck) <0 и неустойчиво при Б2(*+2с)>0. Если же b-\-2ck - О, то необходимо рассмотреть коэффициент Л4. Если с фО, то невозмущенное движение неустойчиво. Если же с = О, то вследствие допущенных равенств будет а~0 и Ь = 0. Следовательно, функция X (х, у) обратится тождественно в нуль, и мы будем иметь дело с особенным случаем.

Допустим теперь, что В2 = 0. Тогда на основании (32.12) уравнение (32.10) будет иметь решение y = kx, которое на основании (32.11) обратит функцию Х{х,у(х)) тождественно в нуль. Следовательно, опять получится особенный случай.

§ 33. Особенный случай.

Рассмотрим теперь особенный случай. Допустим, следовательно,

что при замене в функции X (х, Xi.....х„) величин х функциями

и(х), удовлетворяющими уравнениям (31.3), получится тождественно нуль. В этом случае при преобразовании уравнений (28.6) при помощи подстановки (31.4) мы будем иметь в полученных таким образом уравнениях (31.5) соотношения

Х°>{х, 0.....0) = Y,(x, о.....0) = 0 (5=1, 2.....л). (33.1)



Эти соотношения непосредственно вытекают из (31.6). Но при выполнении соотношений (33.1) уравнения (31.5) имеют решение

х = с, i= ... =„ = 0.

где с - произвольная постоянная. Следовательно, уравнения (28.6) имеют решение

х = с, х,и,(с). (33.2)

Тривиальное решение х = x,=... = х„=0 содержится в семействе (33.2) и соответствует нулевому значению постоянной с).

Тривиальному решению соответствует исследуемое невозмущенное установившееся движение рассматриваемой динамической системы. Точно так же решению (33.2) соответствуют другие установившиеся движения рассматриваемой системы. Таким образом, в особенном случае исследуемое невозмущенное движение принадлежит к семейству установившихся движений.

Справедливо и обратное. Пусть предложенная динамическая система описывается уравнениями

-ЛУг.....(=1. 2.....(33.3)

где правые части не зависят явно от t, поскольку мы рассматриваем установившиеся движения. Допустим, что динамическая система имеет установившееся движение, т. е. что уравнения (33.3) имеют частное решение Уг = а;. где - постоянные. Эти постоянные определяются системой уравнений

УЛа-1.....«„+.) = 0 (/=1,2.....й+1). (33.4)

Может случиться, что уравнения (33.4) имеют не изолированное решение, а целое семейство решений, зависящее от одного произвольного параметра X, так что эти уравнения удовлетворяются при у. == ai (Я), где С; (X) - некоторые функции от X. Следовательно, рассматриваемая динамическая система имеет однопараметрическое семейство установившихся движений. Примем одно из движений этого семейства, соответствующее, например, значению Х параметра, за невозмущенное и составим дифференциальные уравнения возмущенного движения. Покажем, что при этом один корень характеристического уравнения будет обязательно равен нулю, и если остальные корни будут иметь отрицательные вещественные части, то рассматриваемый случай будет обязательно особенным.

Мы предполагаем при этом, как во всей этой главе, что уравнения (33.3) аналитичны в некоторой области и что исследуемое невозмущенное движение лежит в этой области.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0015