Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Искомые уравнения возмущенного движения получим, преобразуя (33.3) при помощи подстановки

Xi = yi - ai{Xo).

Таким путем получаем:

- = 7п1+ ••• + (/=!,2.....л+1), (33.5)

где Xf - аналитические функции переменных Ху, ху, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. Рассмотрим уравнения

/; = 9;Л+ •• +9(,«+i;„+i + ; = 0 (=1. 2.....л+1).

(33.6)

Эти уравнения удовлетворяются при Ху= ... =дг„1 = 0. Если бы в этой точке функциональный определитель системы (33.6)

\d(Fi.....F„+i)

Я\, /1+1

Я-2, п + 1

Яп+\,1 Яп+1,2 ••• Яп+\,п+1

(33.7)

был отличен от нуля, то никакого другого решения в окрестности начала координат уравнения (33.6) не имели бы. Однако в рассматриваемом случае это неверно. Действительно, поскольку дифференциальные уравнения (33.3) имеют решение у(=аДЯ,), то дифференциальные уравнения (33.5) должны иметь решение = (к) - оДЯд). Поэтому уравнения (33.6) должны удовлетворяться при = - ai(k) - о,-(Я-о). Это решение, зависящее от произвольного параметра, лежит при к, достаточно близком к Xq, в окрестности начала координат и переходит в тривиальное при k==kQ. Итак, решение Xi== ... =дг„1 = 0 уравнений (33.6) не является изолированным, и поэтому определитель (33.7) необходимо равен нулю. Следовательно, характеристическое уравнение системы (33.5) имеет, по крайней мере, один нулевой корень.

Допустим, что остальные л корней характеристического уравнения отличны от нуля. Преобразуем систему (33.5) к виду (28.6):

= Х{х. X, dxc ,

-\-PsnXn-\-PsX+X{X, Jfi

(33.8)



где уравнение

D(l) =

Ри-Х ... рхп

Рп Р22 - • • • Р2п

... Р„„-\

(33.9)

не имеет нулевого корня. При решение x, = f,(l) (s=l, 2, . ходит решение ЛГ; = с, (Я) - (к) (1=1, 2, (33.5). Здесь все функции /, обращаются в нуль при к = ко

этом система (33.8) должна иметь и), х = f (к), в которое пере-

га+1) системы

х„) = 0, х„) = 0

(33.10)

f(k) = a,(k)-a,(ko) (s=l. 2, Следовательно, уравнения

Х(х, Xj

(s=\, 2.....п)

должны удовлетворяться решением х= f (к), х, = (к), содержащим тривиальное решение х = х= ... = л;„ = 0.

Но так как [)(0)фО, то последние п уравнений (33.10) могут быть разрешены относительно х, и дадут х, = и, (х), где и, - функции, рассмотренные в § 31. Подставляя эти функции в первое уравнение (33.10), мы получим одно уравнение для определения х. Это уравнение должно удовлетворяться при x = f(k), т. е. иметь бесчисленное множество решений, соответствующих различным значениям к, что, очевидно, возможно лишь только тогда, когда Х(х, Ui(x)..... и„(л;)) = 0. Если при этом все корни уравнения (33.9) имеют отрицательные вещественные части, то мы будем иметь особенный случай.

Примером динамической системы, имеющей семейртво установившихся движений, зависящее от произвольного параметра, может служить твердое тело, вращающееся по инерции вокруг закрепленной точки. Уравнения движения такого тела

А + (С-

B)qr = О,

+ (А-С)гр = 0,

C + (B-A)pq = 0.

где р, q, г -проекции вектора мгновенной угловой скорости на оси координат, направленные по главным осям инерции в закрепленной точке, а А, В, С - моменты инерции относительно этих осей, имеют три семейства решений:

p = (i), q = r = 0; q = (i). r = p = Q; r=(j), уэ=з= = 0.



B + {A-C){x+ci>)z~0,

dz dz

(33.11)

" rfi+(5-)(; + o))y = 0.

Характеристическое уравнение первого приближения действительно имеет один нулевой корень (см. § 22), и так как в переменных х> у, Z рассматриваемому семейству движений отвечают нулевые значения переменных у и г;, то уравнения (33.11) уже имеют форму (31.5). Действительно, правые части всех трех уравнений обращаются в нуль при y = z = 0.

Необходимо, однако, указать, что вещественные части остальных двух корней характеристического уравнения не могут быть одновременно отрицательными, и потому уравнения (33.11) не принадлежат к типу сейчас рассматриваемых. Напомним, что полное решение задачи устойчивости для системы (33.11) дано в § 23.

§ 34. Решение задачи устойчивости в особенном случае.

Итак, в особенном случае невозмущенное движение принадлежит к семейству установившихся движений, которое в переменных х, х определяется формулами (33.2), а в переменных х, приводящих уравнения возмущенного движения к виду (31.5), - формулами

х = с, ... =L-0. (34.1)

В особенном случае невозмущенное движение всегда устойчиво. Устойчивость при этом не будет асимптотической. Однако всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, не стремясь при ->оо к невозмущенному движению, стремится все же к одному из установившихся движений вышеуказанного семейства. Другими словами, если пользоваться переменными х, то для всякого решения x(t), l,(t) уравнений возмущенного движения, для которого начальные значения и достаточно малы, справедливы равенства

lim X (О = а, lim 1 (0 = 0,

где а - некоторая определенная постоянная (зависящая от взятого возмущенного движения).

Точно такими же свойствами, как и невозмущенное движение, обладают все движения семейства (34.1), достаточно близкие к невозмущенному.

зависящих каждое от произвольной постоянной ю. Дифференциальные уравнения возмущенного движения, когда за невозмущенное движение принято одно из движений первого семейства, имеют вид (23.1)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018