Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Это предложение является частным случаем более общей теоремы Ляпунова, которую мы здесь и приводим

Допустим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют ВИД

~ .....х„

(34.2)

«. У1.....У к)

= .....k),

-J = Psll + • • • + PsnXn + Xi,

(s=l, 2.....«),

где К/, - ограниченные функции t при всех fO и аналитические функции переменных у, х в некоторой не зависящей от t окрестности начала координат, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. При этом имеют место соотношения

Yiit, О.....О, у1.....y,) = X,(t, О.....О, У1.....Уй) = 0.

т. е. функции К;, X, обращаются в нуль при равенстве нулю одних лишь переменных х.

Коэффициенты pj таковы, что уравнение

Рп - Pi2 •• Рт

Р21 Р22 - • • • Р2п

(34.3)

имеет корни только с отрицательными вещественными частями. Уравнения (34.2) допускают частное решение:

У к = Cft,

= х„ = 0.

(34.4)

определяющее семейство установившихся движений, зависящее от k произвольных постоянных с,- и содержащее исследуемое невозмущенное движение. Если Х и не содержат t п то система (34.2) переходит в систему вида (31.5) в особенном случае.

Теорема. Если уравнения возмущенного движения имеют вид (34.2), то невозмущенное движение устойчиво. При этом всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится с неограниченным возрастанием времени к одному из установившихся движений семейства (34.4).

) См. М а л к и н И. Г., Об устойчивости движения в смысле Ляпунова, Матем. сб., т. 3, вып. 1, 1938. Теорема Ляпунова обобщена нами в этой работе, из которой мы заимствуем приводимое здесь доказательство, совершенно отличающееся от доказательства Ляпунова.



5 = 1

+ "lu-dt "" УУ*)-

Положительную постоянную а можно выбрать настолько малой, чтобы форма

-22 + 2а1(, g

5 - 1

была определенно-отрицательной. С другой стороны, так как функции обращаются в нуль при Xj = ... = х„ = О и по отношению к t они ограничены, то в области

>0. II5KP. У,1<Р (=1. 2.....s=l. 2.....«) (34.7)

будет выполняться неравенство

"Еж- .....1.....-

<

<Р{,+ ... (34.8)

Теми же свойствами обладают все движения семейства (34.4), если только численные значения параметров достаточно малы.

Доказательство. Исследуем сначала невозмущенное движение.

По свойству корней уравнения (34.3) существует определенно-положительная квадратичная форма V{Xy, х„) переменных х, удовлетворяющая уравнению

S "53 (11 + • • • + Р.лл) = - S •

5=1 * 5=1

Преобразуем вторую группу уравнений (34.2) при помощи подстановки

L = (34.5)

где а - достаточно малая положительная постоянная. Преобразованная система примет вид

=P5lll+ ••• +(P55 + «)l5+ ••• +Р5Л1„ +

+ e«X,(f, e-«i.....е-«„, у,.....у,) (34.6)

(5=1, 2.....п).

Составим полную производную по времени функции V(j.....„)

в силу уравнений (34.6). Будем иметь:



если только число р достаточно мало. При этом число р можно выбрать настолько малым, чтобы число Р было сколь угодно малым. Это вытекает из того обстоятельства, что функции не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка, и поэтому все члены левой части неравенства (34.8), имея по крайней мере второй порядок относительно будут иметь общий порядок не ниже третьего.

Поэтому на основании леммы 2 § 7 число р можно выбрать на-

столько малым, чтобы в области (34.7) функция -принимала только

отрицательные значения. Мы будем предполагать, что число р действительно выбрано указанным образом.

Установив это, рассмотрим произвольное решение (0, у,() уравнений возмущенного движения с начальными значениями (при = 0) 1°, у°, удовлетворяющими неравенствам

1%\<Ч. \У%<Ч (5=1.2.....п;/=1, 2.....k), (34.9)

где Г1< р.

Для этого решения условия

НЛО К р. УД0<Р (34.10)

будут выполняться по крайней мере для значений t, близких к начальному. Пусть t - такой момент времени, для которого условия (34.10)

еще выполняются. Тогда во всем промежутке (О, t) выражение

будет отрицательным, и мы можем написать:

(ii.....1п) = У{1\.....11)+1ж*<{г ну (34.11)

Так как форма V определенно-положительна, то из (34.11) вытекает, что в рассматриваемом промежутке времени выполняются неравенства

\l,{t)\<A (s=l. 2.....п). (34.12)

причем число А можно сделать сколь угодно малым подходящим выбором величин .... т. е. если число г\ в неравенствах (34.9) взять достаточно малым.

Из (34.12) вытекает, что в указанном промежутке времени переменные X, удовлетворяют неравенствам

х,(0<е-° (5=1, 2.....п). (34.13)

Эти неравенства показывают, что для функций К,- в указанном промежутке справедливы оценки

\yiit. x,it).....x„it), у, (О.....УA(0)<Лe-« (34.14)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0076