Это предложение является частным случаем более общей теоремы Ляпунова, которую мы здесь и приводим

Допустим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют ВИД

~ .....х„

(34.2)

«. У1.....У к)

= .....k),

-J = Psll + • • • + PsnXn + Xi,

(s=l, 2.....«),

где К/, - ограниченные функции t при всех fO и аналитические функции переменных у, х в некоторой не зависящей от t окрестности начала координат, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. При этом имеют место соотношения

Yiit, О.....О, у1.....y,) = X,(t, О.....О, У1.....Уй) = 0.

т. е. функции К;, X, обращаются в нуль при равенстве нулю одних лишь переменных х.

Коэффициенты pj таковы, что уравнение

Рп - Pi2 •• Рт

Р21 Р22 - • • • Р2п

(34.3)

имеет корни только с отрицательными вещественными частями. Уравнения (34.2) допускают частное решение:

У к = Cft,

= х„ = 0.

(34.4)

определяющее семейство установившихся движений, зависящее от k произвольных постоянных с,- и содержащее исследуемое невозмущенное движение. Если Х и не содержат t п то система (34.2) переходит в систему вида (31.5) в особенном случае.

Теорема. Если уравнения возмущенного движения имеют вид (34.2), то невозмущенное движение устойчиво. При этом всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится с неограниченным возрастанием времени к одному из установившихся движений семейства (34.4).

) См. М а л к и н И. Г., Об устойчивости движения в смысле Ляпунова, Матем. сб., т. 3, вып. 1, 1938. Теорема Ляпунова обобщена нами в этой работе, из которой мы заимствуем приводимое здесь доказательство, совершенно отличающееся от доказательства Ляпунова.

5 = 1

+ "lu-dt "" УУ*)-

Положительную постоянную а можно выбрать настолько малой, чтобы форма

-22 + 2а1(, g

5 - 1

была определенно-отрицательной. С другой стороны, так как функции обращаются в нуль при Xj = ... = х„ = О и по отношению к t они ограничены, то в области

>0. II5KP. У,1<Р (=1. 2.....s=l. 2.....«) (34.7)

будет выполняться неравенство

"Еж- .....1.....-

<

<Р{,+ ... (34.8)

Теми же свойствами обладают все движения семейства (34.4), если только численные значения параметров достаточно малы.

Доказательство. Исследуем сначала невозмущенное движение.

По свойству корней уравнения (34.3) существует определенно-положительная квадратичная форма V{Xy, х„) переменных х, удовлетворяющая уравнению

S "53 (11 + • • • + Р.лл) = - S •

5=1 * 5=1

Преобразуем вторую группу уравнений (34.2) при помощи подстановки

L = (34.5)

где а - достаточно малая положительная постоянная. Преобразованная система примет вид

=P5lll+ ••• +(P55 + «)l5+ ••• +Р5Л1„ +

+ e«X,(f, e-«i.....е-«„, у,.....у,) (34.6)

(5=1, 2.....п).

Составим полную производную по времени функции V(j.....„)

в силу уравнений (34.6). Будем иметь:

если только число р достаточно мало. При этом число р можно выбрать настолько малым, чтобы число Р было сколь угодно малым. Это вытекает из того обстоятельства, что функции не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка, и поэтому все члены левой части неравенства (34.8), имея по крайней мере второй порядок относительно будут иметь общий порядок не ниже третьего.

Поэтому на основании леммы 2 § 7 число р можно выбрать на-

столько малым, чтобы в области (34.7) функция -принимала только

отрицательные значения. Мы будем предполагать, что число р действительно выбрано указанным образом.

Установив это, рассмотрим произвольное решение (0, у,() уравнений возмущенного движения с начальными значениями (при = 0) 1°, у°, удовлетворяющими неравенствам

1%\<Ч. \У%<Ч (5=1.2.....п;/=1, 2.....k), (34.9)

где Г1< р.

Для этого решения условия

НЛО К р. УД0<Р (34.10)

будут выполняться по крайней мере для значений t, близких к начальному. Пусть t - такой момент времени, для которого условия (34.10)

еще выполняются. Тогда во всем промежутке (О, t) выражение

будет отрицательным, и мы можем написать:

(ii.....1п) = У{1\.....11)+1ж*<{г ну (34.11)

Так как форма V определенно-положительна, то из (34.11) вытекает, что в рассматриваемом промежутке времени выполняются неравенства

\l,{t)\<A (s=l. 2.....п). (34.12)

причем число А можно сделать сколь угодно малым подходящим выбором величин .... т. е. если число г\ в неравенствах (34.9) взять достаточно малым.

Из (34.12) вытекает, что в указанном промежутке времени переменные X, удовлетворяют неравенствам

х,(0<е-° (5=1, 2.....п). (34.13)

Эти неравенства показывают, что для функций К,- в указанном промежутке справедливы оценки

\yiit. x,it).....x„it), у, (О.....УA(0)<Лe-« (34.14)