Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

где М - некоторое положительное число, так как эти функции обращаются в нуль при = ... = х„ = О и ограничены относительно t. Следовательно, первая группа уравнений (34.2), из которой вытекает

(0-=У?+ jyiii- i(0.....x„it). y,it).....y>,if))dt.

дает:

У, (О < у, +ЛМ

(/ = 1, 2.....k).

(34.15)

Пусть теперь е - произвольное сколь угодно малое число, которое мы во всяком случае будем считать меньше р. Выберем число т) в неравенствах (34.9) таким образом, чтобы число А было меньше е и чтобы правая часть неравенств (34.15) была также меньше е. Тогда из (34.12) и (34.15) вытекает, что во всем промежутке времени, в течение которого выполняются неравенства (34.10), будут также выполняться неравенства

ИДОКе, уДО<е (5=1, 2.....«: /=1, 2.....k). (34.16)

Но так как < р, то отсюда следует, что неравенства (34.10), а вместе с ними и неравенства (34.16) выполняются при всех значениях t. Действительно, если бы условия (34.10), которые в начальный момент времени выполняются со знаками неравенства, когда-нибудь нарушились, то в некоторый момент времени хотя бы одна из величин уДО> Uj(0 достигла бы значения р. Это, однако, невозможно, так как в этот момент времени условия (34.16) еще оставались бы в силе и, следовательно, все величины 1(0. У;(0 были бы меньше е.

Итак, если в начальный момент времени выполняются условия (34.9), то в дальнейшем все время будут выполняться условия (34.16). Следовательно, невозмущенное движение устойчиво по отношению к переменным 1, У;. Но тогда оно и подавно устойчиво по отношению к переменным х, у,.

Покажем теперь, что всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически приближается при = оо к одному из движений семейства (34.4), т. е. что

lim дг, (0 = 0, ИтуДО = аг.

(34.17)

где ul - некоторые постоянные.



Первая группа соотношений (34.17) непосредственно вытекает из (34.13). Для доказательства второй группы замечаем, что

lim у.(0 = У?+ Г У lit, x,(t), .. ., x„(t), y,(t).....y,(t))dt. (34.18)

Интегралы, стоящие в правых частях (34.18), сходятся на основании оценок (34.14), которые остаются справедливыми, по доказанному, при всех значениях t. Отсюда непосредственно следует справедливость второй группы соотношений (34.17), причем величины а,-равны правым частям равенств (34.18).

Докажем теперь, что такими же свойствами, как и невозмущенное движение, обладают все движения семейства (34.4), если только величины I I достаточно малы. С этой целью, приняв какое-нибудь движение семейства (34.4) за невозмущенное, составим соответствующие дифференциальные уравнения возмущенного движения, положив в (34.2)

Ut=-yi-Ci (1=1, 2, k), где и, - новые переменные. Тогда получим:

dt dx, dt

l-==Ui (t, Xi. . .., x„, И1.....Kft) + a„Xi + ... + a,.„x„.

= iPsl + c,i) Xi + ... + (p,„ + c,„) x„ +

+ sit Xi.....X„, Hi.....Kft),

(34.19)

где и I, X, - функции такого же типа, как и К, X,, а величины ау и с so являются функциями от и Cj, Ci. По отношению к t

функции aij и Csa ограничены, а по отношению к c.....с, они

аналитичны и обращаются в нуль при c= ... =c = Q. Поэтому при достаточно малых величины а и р будут сколь угодно малы.

Уравнения (34.19) отличаются от уравнений (34.2) только тем, что в их правых частях добавились новые члены, линейные относительно Xj. Присутствие этих членов в правых частях первой группы уравнений (34.19) ничего не меняет в предыдущих рассуждениях, так как мы в них нигде не пользовались тем обстоятельством, что разложения функций не содержат линейных членов. Важно было только, чтобы функции Yi обращались в нуль при равенстве нулю одних лишь переменных х, что для первой группы уравнений (34.19) по-прежнему выполняется.

Присутствие новых линейных относительно х членов во второй группе уравнений (34.19) также ничего не изменит, если только



квадратичная форма

5 = 1

будет по-прежнему определенно-отрицательной, а это действительно будет иметь место, если только величины с,] достаточно малы, что мы и будем предполагать.

Таким образом, к уравнениям (34.19) применимы все предыдущие рассуждения, и следовательно, при достаточно малых с, для движений (34.4) справедливы те же заключения, что и для первоначального невозмущенного движения = ... = x„ = У] = ... = у = 0. Таким образом, теорема доказана.

Доказанная теорема полностью исчерпывает исследование особенного случая, вместе с ним исследование критического случая одного нулевого корня характеристического уравнения. В следующем параграфе мы начнем рассмотрение второго критического случая, когда, характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней при остальных корнях с отрицательными вещественными частями.

§ 35. Случай пары чисто мнимых корней. Приведение уравнений возмущенного движения к специальному виду.

Рассмотрим систему (п--2)-го порядка dz,

-drn + ••• +4],n+2Zn+2+Zj{Zy, .... z„+ (35.1)

C/=l, 2. .... «+2).

где Zj - функции переменных Zy.....аналитические в некоторой окрестности начала координат, разложения которых по степеням этих переменных начинаются членами не ниже второго порядка. Мы будем предполагать, что характеристическое уравнение

D(p) =

Яп-Р Яп Я21 Я

• • • Яи п+2 -Р • • • Я2,п + 2

Яп+2,1 Я п+2, 2

системы первого приближения dz,

Я п + 2, п + 2 - Р

==qjyZy+ ... +q,,n+2Zn

(35.2)

(35.3)

имеет пару чисто мнимых корней ± Я,/ и и корней с отрицательными вещественными частями.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0015