Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 35] СЛУЧАЙ ПАРЫ чисто мнимых КОРНВЙ 119

Введем в уравнения (35.3) вместо двух каких-нибудь переменных Zj две новые переменные л: и у при помощи подстановки:

x = ayZ-\-a2Z2+ +a«+22„+2.

где fly и bj - некоторые постоянные. Мы постараемся эти постоянные подобрать таким образом, чтобы два уравнения системы (35.3) приняли вид

dx . dy . = Яу, ,- = Хх.

Мы должны, следовательно, иметь:

л+2 я+2

S«;(9;i21+ ••• +9ЛяН22„+2) = - Д V;.

л+2 . л+2

bj{qjiZi+ ... +9;,л+2л+2) = 2 «у.гу

Приравнивая в обеих частях этих равенств коэффициенты при Z/, мы получим для определения Uj и bj систему 2я--4 линейных однородных уравнений:

4lk"l + 42k2-\- ••• +9л + 2,А«л + 2+ =

+ fe*2 + • • • + 9л+2, -~Ха = 0 (35.4)

(ft= 1, 2, ..., я+2).

Эту систему легко привести к системе из я--2 уравнений, если ввести вместо неизвестных Uj и bj комплексный неизвестные Cj=aj-{-ibj. Действительно, умножая уравнения второй группы системы (35.4) на i и складывая с соответствующими уравнениями первой группы, получим oднopoдyю систему из я-)-2 уравнений

+ +9п+2,Л+2 -С; = 0 {k=\. 2, я-f 2).

Определитель этой системы, равный D{Xi), обращается в нуль, так как уравнение (35.2) имеет, по условию, корень Xi. Следовательно, эта система допускает нетривиальное решение для Cj. Выделяя в нем вещественные и мнимые части, мы получим решение системы (35.4).

Приняв найденные таким образом переменные л; и у вместо двух каких-нибудь переменных Zj п обозначив остальные переменные Zj через Xj, мы приведем систему (35.3) к виду dx . dy .

=PsiXi+ • +Psr>Xn-p,x+q,y (*=«i. 2.....я).



где pj, р, - некоторые постоянные. Если указанную подстановку сделать в уравнениях (35.1), то они примут вид dx

-j= - A,y+A(x, у, х,.....х„),

= Хх+К(лг, у. Xi.....х„).

PslXl+.-.--psnXn+PsX + sy + X.ix. у, Xi.....Х„)

(35.5)

(s=l, 2, n),

где X, Y, X - функции такого же вида, как и Zj.

Полученный вид дифференциальных уравнений возмущенного движения будет исходным для дальнейшего исследования.

Так как характеристическое уравнение любой линейной системы не изменяется при линейном преобразовании, то характеристическое уравнение линейной части системы (35.5) должно совпадать с характеристическим уравнением (35.2). Но характеристическое уравнение линейной части системы (35.5) распадается на уравнение p-j-XO, дающее корни ± Х(, и уравнение

Ри-Р Рп ••• Pin

P2l Р22 - Р • • • Р2п

= 0.

(35.6)

Рт Рп2 •• Рпп - i

Следовательно, все корни уравнения (35.6) имеют отрицательные вещественные части.

§ 36. Системы второго порядка. Первый способ решения задачи.

Прежде чем исследовать общий случай, рассмотрим подробно частный случай, когда ге = 0 и когда, следовательно,* дифференциальные уравнения возмущенного движения образуют систему второго порядка вида

Ху-Х{х, у), -- = Хх+К(х, у), (36.1)

где X и К начинаются членами не ниже второго порядка.

В рассматриваемом случае можно не только исследовать характер невозмущенного движения, но и дать общую картину поведения Интегральных кривых уравнений (36.1) в окрестности начала координат 1).

) Вид интегральных кривых, определяемых уравнениями (36.1), изучил впервые Пуанкаре. (См. Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, 1947).



(Зб.З)

С этой целью введем в рассмотрение полярные координаты гид при помощи подстановки

дг = гсозд, yrsinfl. (36.2)

Уравнения (36.1) примут при этом вид ~ = Х {rcos, г sind) cos d + K(r cos д. rsind)sind =

= rR (r, u)

- = X4-j[V{rcos. rsind)cosd -

- XCrcosd. r sin d) sin d} =Я, + е(г, «)

где R{r, d), 9(r, &) - функции переменных гид, разлагающиеся в ряды по степеням г, сходящиеся при г, достаточно малом, и обращающиеся в нуль при г = 0. Коэффициенты этих разложений являются периодическими функциями д периода 2я, причем каждый из них является простым полиномом относительно cosd и sind и- может быть поэтому представлен конечной суммой синусов и косинусов целых кратностей д.

Для получения уравнения интегральных кривых исключим из (Зб.З) время t. Будем иметь:

ш=iTe" + 3 () + • • • (зе.4)

Ряд, стоящий в правой части уравнения (36.4), сходится при г достаточно малом, причем коэффициенты Rib), /?з(), ... также представляют собой полиномы относительно cosd и sin д.

Уравнение (36.4) имеет тривиальное решение г = 0. Следовательно, одной из интегральных кривых является начало координат. Так как правая часть уравнения (36.4) аналитична в окрестности начала координат, то через каждую точку этой окрестности на основании теоремы существования решений дифференциальных уравнений проходит одна и только одна интегральная кривая. Отсюда следует, что ни одна интегральная кривая, выходящая из какой-нибудь точки окрестности начала координат, не пересекает этой точки.

Из аналитичности правой части уравнения (36.4) вытекает также, что любое решение г = г (д, с) этого уравнения, определяемое начальным условием

г (О, с) = с, (36.5)

может быть разложено в ряд по степеням с:

г(д, c) = ri(d)c + r2(«)c2+ (Зб.б)

сходящийся, если с достаточно мало. Радиус сходимости этого ряда зависит от интервала изменения д. Но как бы велик ни был этот



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017