Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

интервал, для него всегда найдется такое достаточно малае число у, что ряд (36.6) будет сходиться при всех [ску- Мы будем предполагать число Y настолько малым, чтобы ряд (36.6) сходился при 1*1 <2я.

Для вычисления коэффициентов подставим ряд (36.6) в обе части уравнения (36.4) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях с. Пусть Fi обозначает коэффициент при с в разложении по степеням с правой части уравнения (36.4) после подстановки в нее (36.6), так что имеем тождественно:

(г2/?2(д) + гЗ/?з(д) +

= f2c+F,c+ ... (36.7)

Функции Fl представляют собой, очевидно, полиномы от г,

Гз, с коэффициентами, зависящими от R, /?з...../?/ и

являющимися, следовательно, периодическими функциями Ь периода 2n (полиномами относительно cosd и sind). В частности, имеем:

2 = ?2. Рз-А+Щ12-

Уравнения, определяющие функции г,, имеют вид Ж

drt Q (.п.2р D ,2 I 2/? г г

=-Fi (/=4,5,...).

(36.8)

(36.9)

Кроме того, из (36.5) имеем начальные условна г,(0) = 1. Г2(0) = гз(0)= ... = Следовательно,

Г1=1, = j Rdb, Гз = J(/?3 + 2/?2r2)rfd.....r, = J Fid.

0 0 о

(36.10)

Таким образом, все функции гДд) последовательно определяются простыми квадратурами. Для функции ri мы имеем квадратуру периодической функции. Отметим здесь одно общее свойство такого рода квадратур, которым мы часто будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть /(d) - произвольная непрерывная периодическая функция какого-нибудь периода и. Тогда

F{b) = f{db = gb+{b), (36.11)



(36.12)

Эта формула совершенно очевидна, если /(б-) разлагается в ряд Фурье

со п = 1

где g определяется формулой (36.12).

Действительно, в этом случае мы имеем:

л = 1

Отсюда непосредственно вытекает справедливость (36.11) для рассматриваемого случая. Но и в общем случае эта формула выводится без всякого труда, на чем мы не будем останавливаться.

Установив это, рассмотрим коэффициент г. Так как функция /?2 периодическая, то будет либо иметь вид (36.11), либо будет периодической, если соответствующий коэффициент g обращается в нуль. Во втором случае функция /?з+2/22 будет периодической, и поэтому коэффициент либо будет иметь вид (36.11), либо получится периодическим. Продолжая таким образом дальше, мы видим, что могут представиться два случая: либо все коэффициенты г, как бы велик ни был индекс i, являются периодическими функциями периода 2л, либо среди этих коэффициентов имеются непериодические. При этом, если г„ является первым непериодическим коэффициентом, то

r = g + <f) g- j Fmd, (36.13)

где ф (§) - периодическая функция периода 2л.

Допустим сначала, что все функции Гу являются периодическими. В этом случае решение (36.6) будет периодическим при всех значениях с (лежащих в области сходимости ряда). Следовательно, г (2л, с) = г(0, с), и все интегральные кривые, расположенные в достаточно малой окрестности начала координат, замкнуты и окружают эту точку (рис. 8). Следуя Пуанкаре, начало координат называют в этом случае центром.

где ф (#) - периодическ-ая функция того же периода, а g- - постоянная, определяемая формулой



Допустим теперь, что не все коэффициенты получаются периодическими. Пусть - первый непериодический коэффициент в ряду Гз, Гз.....так что для него справедлива формула (36.13), где gO,


Рис. 8.

а все коэффициенты Tj, Г3.....m-i периодичны. Преобразуем уравнение (36.4) при помощи подстановки

Г = р + р2г2(*)+ ... +р"-1г„ 1(1&) + р»ф(1&) = = р + р2г2(*)+ ... +р-г„, 1ф) + р"Гф)-gfp. (Ъ6Л4)

На основании (36.7) будем иметь:

(1+2РГ2+ ... +тр-1ф) + р2+ ... +р-

gp"

= p2F2+ ... +P"F,„ + P"+F™+i+ .... или, принимая во внимание (36.8),

-g-(l + 2pr2+ ... 4-тр»-1ф) = р- + рп + 1р+ ...

Отсюда находим:

= р- + /?;()р-+1+ ... =р..( р/?;()+

(36.15)

где Rm+n-периодические функции й периода 2я (так как коэффициенты преобразования (36.14) периодичны).

Из полученного уравнения вытекает, что в достаточно малой

окрестности начала координат производная сохраняет постоянный

знак, совпадающий со знаком g. Если g- < О, то при § +оо функция р(б) непрерывно убывает и стремится к нулю. По характеру



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.008