Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

подстановки (36.14) то же самое будет иметь место и для радиуса-вектора г. Следовательно, все интегральные кривые, расположенные Б достаточно малой окрестности начала координат, будут спиралями, делающими вокруг начала координат бесчисленное множество оборотов, асимптотически приближаясь к этой точке наподобие логарифмических спиралей (рис. 9). По терминологии Пуанкаре начало координат Б этом случае называется фокусом.

То же самое будет, очевидно, иметь место и при > 0. Только в этом случае спирали будут приближаться к началу координат не при Ь->-\-со, а при б-> - оо.

Обращаемся теперь к вопросу устойчивости. Очевидно, что в случае центра невозмущенное движение устойчиво, так как г, а вместе с ним де и у будут оставаться сколь угодно малыми, если они были достаточно малы в начальный момент времени. Устойчивость при этом не будет асимптотической.

Рассмотрим теперь случай фокуса. Второе уравнение (36.3) показывает, что в достаточно малой окрестности начала координат, когда величина 0 (обращающаяся в нуль при г =0) меньше по модулю величины "К, производная будет больше некоторого положительного числа. Следовательно, с возрастанием t величина Ь будет также возрастать, причем при t->co она будет возрастать неограниченно, если только при этом интегральная кривая остается в достаточно малой окрестности начала координат. Последнее будет как раз иметь место при < 0. В этом случае при возрастании б интегральные кривые приближаются к началу координат, стремясь к нему асимптотически при б==-)-сх). Следовательно, при <0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

При > О интегральные кривые при возрастании б, а следовательно, и t, удаляются от начала координат. Любая интегральная кривая покидает некоторую фиксированную не зависящую от начальных условий окрестность начала координат, как бы близка от него ни была точка, из которой она в начальный момент выходит. Мы имеем, очевидно, полную неустойчивость.

Итак, в случае центра невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически. В случае фокуса невозмущенное движение асимптотически устойчиво при < О и неустойчиво при > 0.


Рис. 9.



) Отсылаем интересующихся к книге: Немыцкий В. В. и Степане в Б. В., Качественная теория дифференциальных уравнений (изд. 2-е, Гостехиздат, 1949), в которой дана и библиография вопроса. См. также примечание в конце книги (стр. 521).

Таким образом, для решения задачи устойчивости в интересующем нас случае мы можем поступать следующим образом:

1) Преобразованием (36.2) и исключением t приводим уравнения возмущенного движения (36.1) к одному уравнению (36.4).

2) Этому уравнению пытаемся удовлетворить рядом

Г = С + с2г2(*) + сЗГз(*)+ ....

где Г2(0) = Гз(0)= ... =0. Подставляя этот ряд в (36.4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с, мы получим уравнения, определяющие последовательно все функции гДй) при помощи квадратур. При этом может оказаться, что либо все коэффициенты г, являются периодическими, либо среди них имеются непериодические.

В первом случае невозмущенное движение будет устойчивым, но не асимптотически.

Во втором случае первый непериодический коэффициент в ряду

Гз.....пусть это будет Гда, будет необходимо иметь вид (36.13).

Тогда, если > О, то невозмущенное движение неустойчиво, а если < О, то оно устойчиво и притом асимптотически.

Определение коэффициентов г, приводится, как мы видели, к вычислению квадратур. Последняя задача не представляет никаких трудностей, так как подинтегральные выражения всегда представляют собой полиномы относительно cosu и sinu. И если мы имеем дело с тем случаем, когда среди коэффициентов г, имеются непериодические, то мы всегда конечным числом простых действий придем к решению задачи устойчивости. Правда, вычисления могут оказаться очень громоздкими, если первый непериодический коэффициент г„ имеет слишком большой индекс. Однако практически такие случаи встречаются весьма редко.

Гораздо сложнее обстоит дело в случае, когда все коэффициенты г, оказываются периодическими, т. е. когда начало координат является центром. В этом случае мы имеем бесчисленное множество условий, и мы не можем непосредственной проверкой убедиться в их выполнимости. Поэтому усилия исследователей были направлены к установлению некоторых общих признаков, которые позволяли бы, не прибегая к вычислению коэффициентов г,-, а непосредственно по виду уравнений (36.1) судить о том, имеем ли мы дело с центром или фокусом. В этом направлении достигнуты некоторые успехи. Так, например, задача полностью разрешена для того случая, когда уравнения (36.1) не имеют членов выше второго порядка. Однако полного решения задачи до сих пор не получено. Мы не имеем, однако, возможности останавливаться подробнее на этом вопросе i). Отме-



тим здесь, однако, одно общее положение, имеющее важное значение.

Система первого приближения для уравнений (36.1) всегда имеет первый интеграл вида лг + у = const. Может случиться, что система (36.1) с учетом нелинейных членов также имеет первый интеграл вида

Р{х, У) = лг2 + у2 + /(л;, у) = const., (36.16)

где f{x, у) - аналитическая в окрестности начала координат функция от де и у, разложение которой по степеням этих переменных начинается членами не ниже третьего порядка. В этом случае начало координат будет центром. Действительно, интеграл (36.16) представляет уравнение интегральных кривых в окрестности начала координат, которые все будут замкнуты, так как функция F{x, у) знако-определенна.

Ляпунов доказал, что справедливо также обратное предложение: если начало координат для уравнений (36.1) является центром, то эти уравнения имеют первый интеграл вида (36.16).

Отметим также.одно важное различие, которое получается в характере задачи в зависимости от того, имеем ли мы дело с фокусом илн центром.

В выражение функции Fi{b), определяющей коэффициент и зависящей, как мы видели, от Tj, .... r,- j. .... входят лишь те члены правой части уравнения (36.4), которые имеют порядок, не превышающий /, а эти члены в свою очередь, как это видно из (36.3), зависят лишь от тех членов уравнений (36.1), которые также имеют порядок, не превышающий L Поэтому если является первым непериодическим коэффициентом в ряду Tj, Г3, .... то он останется первым непериодическим коэффициентом, как бы мы ни изменяли члены выше т-го порядка в уравнениях (36.1). Следовательно, коэффициент g, знак которого определяет устойчивость или неустойчивость, также не зависит от членов выше т-го порядка в уравнениях (36.1). Другими словами, в случае фокуса устойчивость или неустойчивость определяется конечным числом членов в уравнениях возмущенного движения. Члены достаточно высокого порядка никакого значения для задачи не имеют.

Иначе обстоит дело в случае центра. В этом случае, как бы велико ни было число N, мы можем, очевидно, члены N-vo порядка в уравнениях (36.1) изменить таким образом, чтобы функция гу вышла непериодической и чтобы соответствующий коэффициент g был по желанию положительным или отрицательным. Следовательно, в случае центра членами сколь угодно высоких порядков в уравнениях возмущенного движения можно распорядиться таким образом, чтобы получить по желанию как асимптотическую устойчивость, так и неустойчивость.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0061