Главная - Литература

0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

{s=\. 2.....п).

) См. Дубошин Г. Н., К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений. Труды ГАИШ, т. XIV, вып. 1, 1940.

Влияние малых возмущающих сил на устойчивость движения динамической системы рассмотрена впервые в работе: Чет а ев Н. Г., Об устойчивых траекториях динамики. Учен. зап. Казанского гос. ун-та, кн. 4, вып. 1 (см. также Сборник научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 5, 1936). Этому же вопросу посвящены работы: Артемьев Н. А., Осуществимые движения. Изв. АН СССР, сер. матем., № 3, 1939; Малкин И. Г., Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. ПММ, т. VIII, № 3, 1944; Гор шин С. И., Об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях. Критические случаи. Известия АН Казахской ССР, К» 56, серия математики и механики, вып. 2; Об устойчивости движения с постоянно действующими возмущениями, Изв. АН Казахской ССР, Ш 58, 1948.

Случай установившихся движений является наиболее простым при исследовании устойчивости. Вместе с тем к этому случаю приводятся очень многие практические задачи. Следующим по простоте случаем будет тот, когда правые части уравнений возмущенного движения являются по отношению к t периодическими функциями. К такого рода уравнениям приводятся обычно задачи устойчивости колебательных движений. Примером может служить рассмотренная выше задача устойчивости колебаний математического маятника. Правая часть уравнения (3.7) периодична относительно t, так как функция f {t) - периодическая.

§ 4. Устойчивость по Ляпунову и некоторые другие определения устойчивости.

В данных выше определениях Ляпунова рассматривается устойчивость невозмущенного движения по отношению к возмущениям начальных условий. Физически это означает, что рассматривается устойчивость по отношению к мгновенно действующим возмущениям. Однако реальная механическая система находится обычно под постоянным воздействием небольших возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнений движения практически невозможно. Поэтому представляет особый интерес исследование устойчивости рассматриваемого движения по отношению к таким постоянно действующим возмущениям. С точки зрения математической это означает, что необходимо рассматривать возмущения не только начальных условий, но и самих уравнений движения. Примем следующее определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях).

Наряду с уравнениями движения (2.1) рассмотрим дифференциальные уравнения

-= У sit. У,.....у„)-Ь R,{t,y,.....у„) (4.1)



g 4] УСТОЙЧИВОСТЬ по ЛЯПУНОВУ 21

где Rs(f У1.....Уп) - некоторые неизвестные функции, характеризующие возмущающие факторы, относительно которых мы можем сказать только то, что они достаточно малы и удовлетворяют некоторым общим условиям, обусловливающим существование решений уравнений (4.1) в окрестности рассматриваемого невозмущенного движения.

Мы будем говорить, что невозмущенное движение = {f) (частное решение уравнений (2.1)) устойчиво при постоянно действующих возмущениях, если для всякого положительного числа е, как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа 11,(6) и (е), таких, что всякое решение y{f) уравнений (4.1), удовлетворяющее при t - tQ неравенствам

iy.(o)-/.(o)<i(s). удовлетворяет при t неравенствам

y.(0-/.(Ol<e.

каковы бы ни были функции Rit, У].....у„), удовлетворяющие

в области t tg, \у - fs (t) I < е, неравенствам

[Rsit У1. y„)l<ri2(e).

Определенная таким образом устойчивость при постоянно действующих возмущениях является непосредственным обобщением устойчивости по Ляпунову и, как было указано выше, имеет наибольшее практическое значение. Может на первый взгляд показаться, что этим самым до некоторой степени обесценивается теория устойчивости по Ляпунову. Однако это неверно, ибо, во-первых, методы Ляпунова пригодны также для исследования устойчивости при постоянно действующих возмущениях и, во-вторых, по крайней мере в практически наиболее важных случаях, задача об устойчивости при постоянно действующих возмущениях непосредственно приводится к задаче об устойчивости по Ляпунову. Ниже (§ 74) будет показано, что, по крайней мере для установившихся и периодических движений, достаточным условием устойчивости при постоянно действующих возмущениях является асимптотическая устойчивость по Ляпунову 1).

Рассмотрим еще одно возражение, которое иногда приводится при Оценке практической пригодности теории Ляпунова. С этой целью исследуем простейшую систему, описываемую одним дифференциальным уравнением:

= х(а-х. (4.2)



(4.3)

где Xq-начальное значение х (при t - tf.

Рещение (4.3) дает вещественные значения для функции х как при хо <а, так и при хо > а. При этом в обоих случаях

lim x{t)=± а. (4.4)

Отсюда непосредственно следует, что положение равновесия х = 0 неустойчиво, ибо, как бы мало ни было отклонение в начальный момент, оно в конце концов делается больще некоторого фиксиро-

Но, с другой стороны, если вели-

ванного числа

например, j

чина а в рассматриваемой задаче практически мала, так что отклонение от положения равновесия на величину а не имеет никакого практического значения, мы должны будем рассматриваемое положение равновесия считать практически устойчивым. Более того, мы должны будем считать, что имеет место очень сильная устойчивость, ибо условие (4.4) выполняется при любом Xq, как бы велика эта величина численно ни была. Однако нетрудно видеть, что «практическая» устойчивость в рассматриваемом случае обусловлена тем, что в окрестности неустойчивого положения равновесия х = О имеются два асимптотически устойчивых по Ляпунову положения равновесия х= + а. Следовательно, в рассматриваемом частном случае задача о «практической» устойчивости сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову. В общем случае вопрос о «практической» устойчивости в выщеуказанном смысле делается более сложным. Однако, как будет показано ниже (§ 44), по крайней мере для практически наиболее важных случаев, задача по-прежнему сводится к исследованию устойчивости по Ляпунову.

Все выщеуказанное заставляет считать, что данное Ляпуновым определение устойчивости имеет особо важное практическое значение. Вместе с тем последний пример показывает, что для практики важно не только выяснить, является ли движение устойчивым, но и определить область допустимых начальных возмущений. Последним вопросом Ляпунов не занимался, но развитые им методы дают возможность рещать и эту задачу ).

где а - некоторая постоянная. Для этой системы существует, очевидно, положение равновесия х = 0. Это равновесие неустойчиво. В самом деле, общее рещение уравнения (4.2) имеет вид



0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019