Из этого следует, что если нам при исследовании уравнений вида (36.1) удалось каким-нибудь путем убедиться, что изменением членов сколь угодно высоких порядков можно добиться, чтобы невозмущенное движение было по желанию асимптотически устойчивым или неустойчивым, то начало координат является обязательно центром.

Когда начало координат является центром, то ряд (36.6) для г, представляющий общее рещение уравнений (36.1), будет периодическим периода 2я. Подставляя это выражение для г в (36.2), мы получим рещение уравнений (36.1), которое также будет периодическим по отнощению к вспомогательному переменному с периодом 2я. Покажем, что если мы снова перейдем к переменной t и выразим через нее дс и у, то полученные таким путем функции времени будут тоже периодическими, но период будет зависеть, и притом аналитически, от с.

С этой целью обращаемся ко второму уравнению (36.3), определяющему & как функцию t. Подставляя в него выражение (36.6) для г, получим:

= X[l + 0t(d)c + 0*(d)c2+ ...].

где 0р (§) - некоторые периодические функции б-. Полагая, что & и t одновременно обращаются в нуль, получим:

()= Л I f (l+ei(*)c + e2(*)c2-f ...)d*, (36.17)

где 0, {&) - также периодические функции Из (36.17) получаем:

W(*+2n) -W(6-)= J (l + 0ic + 02c2+ ...)di&.

или, учитывая периодичность функций 0, (1),

(*+2я) -(*) = Г, (36.18)

где Т - постоянная, определяемая формулой

Г = (1 + Л,с + Л2с2+ ...), hi= fQiid. (36.19)

Соотнощение (36.18) показывает, что при изменении t на постоянную величину Т величина & изменяется на 2я и, следовательно, величины д; и у не изменяются. Следовательно, д; и у являются периодическими функциями времени с периодом Т, зависящим аналитически от с.

Полученное таким путем периодическое решение уравнений (36.1) будет содержать произвольную постоянную с. Эта произвольная постоянная является, по условию, начальным значением величины г. Но так как отсчет полярного угла § выбран таким образом, что он обращается в нуль при / = 0, то из (36.2) вытекает, что с является вместе с тем начальным значением величины х. Начальное значение величины у равно при этом нулю. Таким образом, полученное периодическое решение уравнений (36.1) характеризуется начальными условиями

х(0) = с, у(0) = 0, (36.20)

где произвольная постоянная с подчинена единственному условию, что она численно достаточно мала.

Полученное периодическое решение, содержащее только одну произвольную постоянную, является частным решением уравнений (36.1). Но учитывая, что эти уравнения не зависят явно от t, мы можем получить их общее решение, зависящее от двух произвольных постоянных, если в указанном периодическом решении мы заменим t на t-\-h, где h - произвольная постоянная.

Практический способ вычисления вышеуказанного периодического решения (когда оно существует, т. е. в случае центра) будет указан в § 38. Сейчас мы рассмотрим примеры решения задачи устойчивости для уравнений типа (36.1).

Пример 1. Уравнение возмущенного движения имеет вид

+ х = а\

dxY , „ 9 г (dx\

dfi \dt ]

где а, р, Y - постоянные.

Записав это уравнение в виде системы

dt )

dx dt

=x-fix- Yxy2 + ауз.

(36.21)

(36.22)

положим:

x = /-cosu, y = /-sini

Уравнения (36.22) примут вид

dr dt

= ~ cos2 § sin * -f (a sin< * - у cos sin *) r

= 1 - p coss § • r + (a sin3 cos - у cos u sin «) r. Исключая t, будем иметь:

= - p cos2 sin * /-2-1- (a sin Y cos sin i»-p2 cos sin u) r-f... Этому уравнению стараемся удовлетворить рядом

При условии Г2(0) = Гз(0) == ... =0. приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с, получим:

-g- = -pcos2i&sin§,

откуда

= а sin § - (y cos § sin2 § + p2 cos § + 2p cos § • т] sin

cos*

Гз = a J sin" # d§ - J (y cos § sin2 § + p2 cos § + 2p cos2 * Гз) sin § d*.

функция Г2 вышла периодической. Функция же имеет, очевидно.

Гз = + /()-

где /(d) - периодическая функция, а g определяется формулой

slnddd.

Следовательно, при а > О невозмущенное движение неустойчиво, а при а < О оно устойчиво асимптотически.

Пример 2. Уравнение (36.21) является частным случаем более общего уравнения

dxV+i

исследованного А. М. Ляпуновым. Здесь п - целое положительное число, а Р - аналитическая функция своих аргументов, не содержащая членов ниже второго порядка относительно х и -~. Полагая

x = rcosd, у = --=:г sind.

олучим: dr

=asin2« + 2§ • /-S + l -P(/-COS§, 2sin2)sin

= 1 + a sin2«+i § cos § . - i- F (r cos§. r sin2 §) cos §.