Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

и вообще

= Fii&)sin (/ = 3.4,...), (36.24)

где (б) - полиномы относительно Гд.....Г; 1. коэффициенты

которых являются полиномами относительно только cos б.

Функция Гз получается, очевидно, периодической и притом полиномом относительно cos-. Но тогда такой же будет и функция Г3 и все остальные функции г. в чем убеждаемся методом индукции.

Действительно, если все функции Tj. Гд.....r,. i вышли полиномами

относительно cos-, то такой же получится и функция Fi), а следовательно, и функция Г;.

Таким образом, при а = 0 мы имеем дело с центром, и невозмущенное движение будет устойчиво, но не асимптотически.

Допустим теперь, что а ф 0. Тогда будем, очевидно, иметь:

. = /2(l&)sinl&. r2-f ... -f/2„(l&)sini&.r2 +

+ + 1 (mn + a Sin2+2 Ц rn + l . . .,

где /2 (б), /з(*).....An+iW - те же функции, что и в (36.23). Для

коэффициентов г, получаем теперь

4j = F2()sin. .... = P2«Wsin.

где Fj, Р3, F„ -те же функции, что и в (36.24). Следовательно, коэффициенты .....г получаются периодическими, а дл«

Допустим сначала, что а = 0. Тогда, исключая t, получим: dr /(/•COS*, raiaЩ . „

-Ж =--1------51Пб- =

\-уР(г cos #, /•= sin2 Щ cos Ф = /2(e-)sine-• г2 + /з(в-)з1пв--гЗ+ .... (36.23)

где fi ф) ЯВЛЯЮТСЯ, очевидно, полиномами относительно только cos б. Ищем решение уравнения (36.23) в виде ряда

Г=С+Г2(1&)С2+ ...

при условии Г2 (0) = Гз (0) = . . . = 0. Для коэффищ!ентов Г; (б) получаем уравнения

=/2 () Sin . =1/з т+2/2 т г, т sm



Г2п + 1 = + Ч>Ф1 g =

2я .

Где ф (§) - периодическая функция.

Следовательно, при а < О невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при а > О оно неустойчиво.

§ 37. Системы второго порядка. Второй способ решения задачи.

Изложим второй способ решения задачи устойчивости в интересующем нас случае, предложенный А. М. Ляпуновым. Этот способ основан на непосредственном построении лля системы (36.1) функции Ляпунова.

Рассмотрим сначала следующую задачу. Пусть и{х, у) - заданная форма т-го порядка переменных л; и у. Будем искать другую форму v(x, у) того же порядка, производная которой по времени, составленная в силу линейной части системы (36.1), т. е. уравнений

f. = -X,. и. (ЗГЛ)

равнялась бы форме н„. Другими словами, найдем форму v, удовлетворяющую уравнению

Задача эта является частным случаем задачи, рассмотренной нами в общем виде в § 20. Согласно полученным там результатам, поступаем следующим образом.

Полагая

« = «1"+«2"~У+ ••• +а„г + 1У"-

«„ = 6,л•™ + M"-У+ ••• +т+1У"

и приравнивая в (37.2) коэффициенты при подобных членах, мы получим систему линейных уравнений

n«l+i2«2+ ••+,-,m + lflm + I=*i 0=1. 2, .... m+1), (37.3)

определяющих коэффициенты Uj. Здесь Aj - некоторые постоянные, которые нам нет необходимости выписывать.

Система (37.3) будет иметь решение и притом единственное, если определитель этой системы будет отличен от нуля, или, что то же

коэффициента Гг,„+1 будем иметь:



Dm (Р) =

Ах 22 - Р • • • 2,

(37.4)

не будет иметь нулевого корня.

Но на основании теоремы 1 § 20 все корни уравнения (37.4) определяются формулой

р = (ffii - ffij)/А,. (37.5)

где да, и ffij - любые целые неотрицательные числа (в частности, нули), связанные соотношением

mi-\-= т. (37.6)

Если т - число нечетное, то не существует никакой комбинации для чисел т, и т, связанных соотношением (37.6), при которой величина (37.5) обращалась бы в нуль. Следовательно, при т нечетном определитель системы (37.3) отличен от нуля, эта система имеет единственное решение, которое определяет одну и только одну форму удовлетворяющую уравнению (37.2).

Допустим теперь, что т - число четное. В этом случае мы можем

удовлетворить соотношению (37.6), полагая т = т. При такой

комбинации, и очевидно, только при такой, выражение (37.5) обращается в нуль. Следовательно, уравнение (37.4) имеет один и только один нулевой корень, и определитель системы (37.3) обращается в нуль. Однако хотя бы один из миноров да-порядка этого определителя отличен от нуля. Действительно, если бы все указанные миноры равнялись нулю, то нулевой корень уравнения (37.4) был бы, по крайней мере, двукратным, так как он обращал бы в нуль

не только D„(A), но и

Так как определитель системы (37.3) обращается в нуль, то эта система, вообще говоря, неразрешима. В этом случае левые части уравнений (37.3) связаны между собой линейным соотношением, т. е.

существует такая система чисел Ж,.....лг + р из которых хотя бы

одно отлично от нуля, что, умножая соответственно левые части (37.3) на эти числа и складывая их, мы получим тождественно нуль. Для того чтобы система (37.3) была разрешима, необходимо, чтобы и ее правые части были связаны тем же самым линейным соотношением, т. е. чтобы выполнялось тождество

Мф, + ЖА +-...+ /И„+1*;л+1 =-"0. (37.7)

самое, если уравнение

Л,, р Л,2 ... A„J



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014