Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [42] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Этого условия будет также и достаточно для разрешимости системы (37.3), так как не все миноры т-го порядка определителя D„(0) равны нулю, и поэтому левые части этой системы связаны только одним линейным соотношением.

Таким образом, при m четном существует тогда и только тогда форма удовлетворяющая уравнению (37.2), когда коэффициенты формы н„ связаны соотношением (37.7).

В связи с этим при m четном изменим несколько постановку задачи, а именно: будем искать форму таким образом, чтобы удовлетворялось не уравнение (37.2), а уравнение

{х%--У) = и„+0(х + у\ (37.8)

где О - некоторая постоянная, которая должна быть подобрана таким образом, чтобы это уравнение имело решение. Система (37.3) перейдет теперь в систему

где 2.....k„i+i - коэффициенты формы

(х2+у2)2.

а условие ее разрешимости примет вид

т+1 пг + 1

2 Mil>i + о 2 kiMl = 0. (37.9)

Это уравнение однозначно определяет постоянную G. Для действительного ее вычисления нет необходимости составлять уравнение (37.9). Гораздо проще непосредственно исходить из уравнения (37.8). Для этого допустим, что постоянная G и форма уже вычислены. Подставляя их в (37.8), получим тождество, которое, следовательно, должно удовлетворяться при любых х к у. В частности, оно должно удовлетворяться, если мы положим x = cos, у = sin в. Сделаем действительно в (37.8) указанную замену, помножим полученное тождество на и проинтегрируем в пределах от О до 2я. Тогда, принимая во внимание, что

dv„ (cos ft, sin *) ) dv„i (X, у) . dv,n (x, y) ]

d« \ dx dy [=eos», y=sin»

И, следовательно,

2Я 2я

\х- - у-\ du=t»„(cosu. slnu) =0.

( dy dx Jj.,co.». y-iln» " 1



Мы получили таким образом соотношение между постоянной О и коэффициентами формы н„,, которое должно необходимо выполняться, если уравнение (37.8) имеет решение, а так как по доказанному таких соотношений может быть только одно, то оно необходимо совпадает с (37.9).

Формула (37.10) дает возможность сразу определить постоянную О.

Установив это, переходим к нашей задаче. Запишем уравнения возмущенного движения (36.1) в виде

lx + Y,(x. у)+У,(х. у)+ ....

(37.11)

где Х, \\ - совокупности членов k -го порядка в функциях X vlY, и попытаемся подобрать для них функцию Ляпунова, удовлетворяющую теоремам Б или В, вида

1 = х2 + у2-Ь/з(х, у) + /4(л;. у)+ .... (37.12)

где /ft(x, у) - некоторые формы Л-го порядка.

Для этого необходимо формы Д, Д, ... подобрать таким образом, чтобы производная от V в силу уравнений (37.11) была знакоопределенной.

Для этой производной имеем:

-(2- + ++-)(- + 2+з+ ...) +

Л {У + Ц+Ц~ + --YxY+Y ...). (37.13)

Полученное выражение начинается членами третьего порядка. Совокупность этих членов имеет вид

1, = А, л-

Для членов четвертого порядка имеем:

--fej + +-Vs- (37.14)

и вообще совокупность членов т-го порядка в выражении (37.13) представляется выражением

будем иметь:

2яО + J (cos sin = 0. (37.10)



У дх j

= ~F4(X. y) + G4(x2+y2)2.

Так как сейчас речь идет о форме четного порядка, удовлетворяющей уравнению типа (37.8), то, как было показано выще, для того чтобы эта форма существовала, необходимо, чтобы О4 была определенной величиной, а именно, на основании (37.10)

04= 2 I FicosQ, sm)d. о

Допустим, что полученная таким путем величина G4 отлична от нуля. Тогда производная от функции

V = x + ffs+U

имеющая вид

-~ = G4 (х у2)2 ~\- члены более высоких порядков,

будет знакоопределенной, знак которой совпадает со знаком О4. Сама же функция V будет определенно-положительной. Поэтому на основании теорем Б и В невозмущенпое движение будет неустойчиво при О4 > О и асимптотически устойчиво при G4 < 0.

Может, однако, случиться, что величина О4 равна нулю. В этом случае разложение функции (37.13) начнется членами пятого порядка, и чтобы эта функция была знакоопределенной, необходимо эти члены обратить в нуль, а для этого необходимо форму /5 выбрать согласно

где F„t(x, у) - форма т-го порядка, зависящая от форм Д, Д, /т-1- Эта форма, следовательно, будет известной, если формы Д, Д- •••• /т-1 из каких-нибудь условий определены.

Для того чтобы производная была функцией знакоопределенной, необходимо прежде всего, чтобы она начиналась членами четного порядка. Поэтому необходимо форму Д выбрать так, чтобы члены третьего порядка (37.14) обратились в нуль, т. е. чтобы выполнялось уравнение

>(--уЩ = ~2хХ22уГ,

Как было показано выще, такая форма /3 всегда существует и будет единственной. Выбрав таким образом форму Д, подберем теперь Д так, чтобы совокупность членов четвертого порядка в вы-dV

ражении была формой знакоопределенной, а именно, приравняем

эту совокупность членов форме 0 (х + у). Таким путем для определения формы /4 получаем уравнение



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [42] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0089