Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

/=б(со5, sin)d.

Если Gg О, то производная от (37.12) будет начинаться членами Gg (х -f у2)з и будет, следовательно, функцией знакоопределенной. Невозмущенное движение будет при этом неустойчиво при Gg > О и асимптотически устойчиво при Gg < 0.

Если Gg = 0, то необходимо произвести дальнейшие определения форм Д. Поступая подобно предыдущему, т. е. приравнивая в (37,13) члены нечетного порядка нулю, а члены четного порядка выражению

G„ (л;2 + у) и определяя G„, по формуле

F„(cos, sin)d, (37.15)

мы можем встретиться с одним из двух возможных случаев: либо все коэффициенты G„, как бы велик ни был индекс т, равны нулю, либо в конце концов мы придем к такому т, что G„, ф 0.

Если мы имеем дело со вторым случаем, то задача устойчивости решается знаком 0„, а именно: при G > О невозмущенное движение неустойчиво, а при G„ < О оно устойчиво и притом асимптотически.

Допустим теперь, что все коэффициенты G равны нулю. Конечно, убедиться в этом непосредственным вычислением этих коэффициентов не представляется возможным, но если каким-нибудь путем нам удалось установить этот факт, то задача устойчивости разрешается просто. Действительно, нетрудно убедиться, что в рассматриваемом случае начало координат является центром. В самом деле, если все коэффициенты G равны нулю, то как бы велико ни было число 2га, члены (2й-1)-го порядка в уравнениях (37.11) можно изменить таким образом, чтобы величина Gg,, получилась отличной от нуля и имела наперед заданный знак. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что в выражение р2„(х, у), определяющее согласно

уравнению 5 = 0, которое имеет вид (37.2), и так как речь идет о форме нечетного порядка, то это уравнение однозначно ее определяет.

Выбрав таким путем Д, ищем Д из условия, что члены шестого порядка в выражении -j обращаются в знакоопределенную форму Gg (х -\- УУ- Таким путем получаем для Д уравнение

x(x-y) = -F,ix. у) + Об(х2 + у2)3,

а для Og величину



третьего порядка. Получим уравнение

Делая в нем

/з = 013+ аху-f азху2 ауз и приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим уравнения fl2 = 0, 2аз - 31 - 2р = О, 3a4~2a2 = 0, 0=0

(37.15) Озп, входят члены 2д:Л2„ 1 + 2yK2„ i, и подбором Х„ у и Y2n-i мы можем, очевидно, сделать величину Gn какой угодно. Следовательно, изменением членов сколь угодно высокого порядка в уравнениях (37.11) можно добиться, чтобы невозмущенное движение было по желанию устойчивым или неустойчивым, а это, как было показано в предыдущем параграфе, является признаком центра.

Итак, если все коэффициенты 0„ равны нулю, то начало координат является центром и, следовательно, невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически. При этом общее решение уравнений (37.11) является периодическим с периодом, зависящим от начальных условий.

При практическом применении метода можно коэффициенты 0,„ определять либо по формуле (37.15), либо непосредственно применяя метод, которым эта формула выведена. Для этого, определив в вы-

dV -

ражении члены т-го порядка, приравниваем их О„{х"-\-у",

полагаем в полученном уравнении x = cos-&, y = sin* и интегрируем в пределах от О до 2л. При этом форма исключится, и мы можем сразу не принимать ее в расчет при определении членов т-го по-dV

рядка в -gp.

Примечание. Пусть Оздг - первая из величин G„(m - 2, 4, 6, .. .), которая отлична от нуля. Как мы только что видели, наивысший порядок членов разложений функций X к У, определяющих эту величину и решающих, таким образом, задачу устойчивости, есть 2yV-1. Следовательно, наивысший порядок членов, решающих задачу устойчивости, когда она решается конечным числом членов, всегда нечетный.

Пример. Рассмотрим систему

4г~-У = х-х - уху + ау.

исследованную в предыдущем параграфе. Полагая

1=:х2+у2+/з + /4+ ....

подберем форму Д так, чтобы в выражении исчезли члены



о> =

sin3ucosudu=-

Если а < О, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а если а > О, то оно неустойчиво.

Если а = 0, то, как было показано в предыдущем параграфе, мы будем иметь случай центра.

§ 38. Системы второго порядка. Третий способ решения задачи.

Рассмотрим еще один способ решения задачи устойчивости для системы

=-%у + х{х. у). -kx + Yix. уУ (38.1)

предложенный также Ляпуновым.

В § 36 было показано, что начало координат для уравнений (38.1) является либо центром, либо фокусом и что вопрос о том, какой из этих случаев имеет место, является основным для задачи устойчивости. Если начало координат является центром, то невозмущенное движение устойчиво; если оно является фокусом, то устойчивость или неустойчивость определяется знаком введенной в § 36 постоянной g, определяющим направление движения по спиралям, которыми являются в этом случае интегральные кривые. Далее было показано, что в случае центра, и только в этом случае, общее решение

и, следовательно,

Приравнивая члены четвертого порядка выражению О4 (х--у2)2, получим ДЛЯ определения Д уравнение

- 4f - 2Yxy3+ 2ау4 = О, (х + (37.16)

Прежде всего определяем постоянную 0. Если она окажется отличной от нуля, то в определении Д не будет необходимости и все вычисления на этом закончатся. Если 0 окажется равной нулю, то придется определять и Д и Д и, может быть, формы более высоких порядков. Для определения 0 полагаем в (37.16) x = cosy=sinfl и интегрируем по й в пределах от О до 2я. При этом члены

X - у можно не рассматривать, так как они при указанной

операции выпадут. Таким путем получаем:

2Я 2я 2Я



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 [43] 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0078