Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [44] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Тогда для полученных таким образом уравнений

dx dx

4 = (х + и(1+Й1С + Й2с2+ ...)

= (-у + 1)(1+Й1С + Й2С2+ ...),

(38.5)

решение с начальными условиями (38.2) будет периодическим с периодом 2л.

Уравнения (38.5) содержат аналитически параметр с. Поэтому любое решение этих уравнений будет, по известной теореме, аналитическим относительно с. Кроме того, каждое такое решение будет аналитическим относительно своих начальных значений х" и у". Применяя это к рассматриваемому периодическому решению, для которого х° = с, у° = 0, придем к заключению, что это решение будет аналитическим относительно с.

Следовательно, это решение имеет вид

Х-=СХу(Х)-\-сХ2{Х)-\- .... у = СУ1(Т)+с2у2(-Г)Ч- ••••

(38.6)

где ряды, стоящие в правых частях, сходятся при достаточно малом с. Так как это решение является периодическим с периодом 2л, то все

уравнений (38.1) является периодическим. Поэтому для решения задачи устойчивости постараемся выяснить, будут ли решения уравнений (38.1) периодическими или нет. Если эти решения окажутся периодическими, то имеет место устойчивость, а если они окажутся непериодическими, то останется еще определить знак постоянной g.

Для выяснения этого вопроса рассмотрим решение х (t), у (t) уравнений (38.1), определяемое начальными условиями

х(0)с, у(0) = 0, (38.2)

где с - достаточно малая произвольная постоянная.

Если начало координат является центром, то это решение будет периодическим с периодом, определяемым формулой (36.19):

r = (l+v + 2c2+ ...), (38.3)

где йр йд- • • • - некоторые постоянные, и ряд сходится при с достаточно малом.

Допустим, что мы действительно имеем дело со случаем центра. Заменим в уравнениях (38.1) переменную t переменной т при помощи подстановки

= (1+v + v+ •••)• (38.4)



= У2 - Й1 sin т-1- J (cos sin = -f- Й1 cos т + -1 Кг (cos . sin *),

(38.8)

где Х2{х, у) и Yix, у)-совокупность членов второго порядка в функциях X к Y.

Аналогичные уравнения мы получим и для функций Х и (А > 2). Правые части этих уравнений будут содержать постоянные h, Ад, .... hii i. Мы выпишем явно лишь те члены, которые содержат постоянную hi i. Тогда будем иметь:

dx. dy.

-=-y,-h, ,sinxP,, -I± = x, + fi,-,cosx + Q,, (38.9)

где и - некоторые полиномы относительно Xg, Уг- х, у.....

Xj i, Уй 1> коэффициенты которых зависят только от hi, .....А.д.

Уравнения (38.8) имеют вид

=-v + f(x), -g=„4-F(t), (38.10)

где /(т) и F(x) - периодические функции т периода 2л. Задача состоит в определении периодических решений этих уравнений. Это - Хорошо известная элементарная задача определения вынужденных

функции x„j(t), y„j(T) являются также периодическими периода 2л. Кроме того, начальные условия (38.2) дают:

Xi(0)=l. Х2(0) = хз(0)= ... =у,(0)=:у2(0)-= ... =0. (38.7)

Таким образом, если начало координат является центром, то уравнения (38.5), в которых hi - некоторые определенные постоянные, имеют решение вида (38.6) с периодическими x„j(t), y„j(T). Если окажется, что как бы ни были выбраны постоянные й, система (38.5) решения вида (38.6) с периодическими д:,„ (т), Ут{х) не имеет, то это будет свидетельствовать о том, что начало координат является фокусом.

Подставляя (38.6) в (38.5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с, мы получим уравнения, которым должны удовлетворять функции x„j и y„j. Таким путем прежде всего получаем:

dx - dx -1

откуда, принимая во внимание начальные условия (38.7), имеем: a:j=cost, yi=sinT.

После этого получим:



колебаний линейной системы с одной степенью свободы. В рассматриваемом случае имеет место резонанс, так как период свободных колебаний совпадает с периодом возмущающей силы. Поэтому уравнения (38.10) в общем случае не имеют периодического решения, и для того чтобы такое решение существовало, необходимо, чтобы функции / и F удовлетворяли некоторым условиям, которые легко установить. Пусть

/ == ао+ 1 cosт+sinт + 2 («п os пх-f-b„sin пх).

P - Aq+ iC0ST + 5iSinT4- 2 („cosrtT + 5„sinrtT)

n = 2

- разложения Фурье функций f и F, где, в частности,

/ (т) COS т dx, = -

/ (т) sin X dx.

F (т) cos xdx. By - - F (т) sin т dx.

(38.11)

Пусть, далее,

и = Со + Cl cos т -f dy sin т -f 2 (Cn COS nx + d„ sin nx).

г» = Co + Cl COS T -j- Di sin T + 2 (<n os " + s" )

n = 2

- разложения Фурье искомого периодического решения. Подставляя эти разложения в (38.10), мы получим Со=ао, Со= - Aq и следующие уравнения для определения коэффициентов:

nd„ = - C„a„, nc„ = D„ - b„, nD„=.c„ + A„. -nC„=d„-\-B„.

Эти уравнения дают вполне определенные решения для с„, d„, С„. и„ при всех й>1. При й=1 эти уравнения неразрешимы, если только не выполняются соотношения

Л1 -1 = 0. 5i + ai = 0.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [44] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0094