Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [45] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

J [/ (т) COS т + F (т) sin т] fifT = О, о

J [F (t) cos т - / (т) sin т] dx = 0.

(38.12)

Если эти соотношения выполняются, то указанное периодическое решение имеет вид

и = а cos т -- psin т + и (т), t» = asinT -pcos т--г»(т), J

(38.13)

где а и р-произвольные постоянные, а и(т), v(x) - периодические функции периода 2л. Это решение, содержащее две произвольные постоянные, является общим решением уравнений (38.10).

Если условия (38.12) не выполняются, то уравнения (38.10) не имеют периодического решения. Членам aiCOSt + iSinT и ЛlCOsт-j--(-fisinт будут соответствовать частные решения вида

и, = Т Т COS т + -!- Т Sin т -

- COS т.

2 - 2 -"" 2

Vi= TCOST+ TSinT+ " COST.

и общее решение уравнений (38.10) будет иметь вид и = а COS т+р Sin т + 2l±Aт COS т + т Sin т + й(т).

t> = asinT-pcosT-fT" tcost-fTsint-f г> (т).

(38.14)

где и (т) и г» (т) - периодические функции, а а и р - произвольные постоянные.

Установив это, допустим, что все функции Xj. Уг.....ft-i- Ук-1

оказались периодическими и что все постоянные й. .... й; 2

Если эти соотношения выполняются, то будем иметь: Di = а, di = р,

1 -«1 -Р- Ci = a -

где а и р - произвольные постоянные. Таким образом, принимая во внимание (38.11), мы приходим к следующему заключению.

Для того чтобы система (38.10) имела периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения



2лй; 1 + J {Q„ cos т - Я; sin т) dT = О,

J {Р„ cos т + sin т) dT == 0.

(38.15)

Первое из этих соотношений однозначно определяет величину h, y Что же касается второго соотношения, то оно может как выполняться, так и не выполняться. Если оно не выполняется, то уравнения (38.5) не будут иметь периодических решений, как бы ни были выбраны постоянные h. Следовательно, в этом случае начало координат является фокусом.

Таким образом, для того чтобы начало координат было центром, необходимо, чтобы второе условие (38.15) выполнялось для любого k. И если нам каким-нибудь образом удастся установить это обстоятельство, то все функции х, у, получатся периодическими. Все эти функции будут вида (38.13) и входящие в каждую из них две произвольные постоянные будут однозначно определяться начальными условиями (0) = У; (0) = 0. Ряды (38.6) будут при этом, как было установлено выше, сходиться и действительно представят периодическое решение системы (38.1). Начало координат будет в этом случае центром и невозмущенное движение будет устойчиво.

Допустим, однако, что при вычислении функций х, (т), у, (т) мы пришли в конце концов к такому значению индекса k, что для него второе соотношение (38.15) не выполняется, В этом случае, как мы уже говорили, начало координат является фокусом. Поэтому для решения задачи устойчивости остается установить знак величины g, введенной в § 36. Покажем, что

(PfeCosT-f QsinT)</T=r + . (38.16)

где йу - коэффициент при cost в Р, а By - коэффициент при sinT в Qj.

С этой целью рассмотрим значение величины х при t = T или, что то же самое, при т = 2л. Мы предполагаем при этом, что ряд (38.3), определяющий величину Т, обрывается на члене {k- 1)-го порядка. Общее решение уравнений для х, и у имеет на

известны. Тогда правые части уравнений (38.9), определяющих х, и у,, будут известными периодическими функциями т. Эти уравнения будут, таким образом, иметь вид (39.10). Поэтому, для того чтобы функции х, и у,1 оказались периодическими, необходимо и достаточно на основании (38.12), чтобы выполнялись соотношения



= а COS т + р sin т-f 2 i {Р cos т + sin т) dx

taosT -

1 2я

2ft-i+ (QftCosT -PjsinT)rfT

TsinT-l-X;j (t),

y;j = asinT-Pcost4-

2лй 1+ (QjCosT-P;jSinT)fifT [TcosT-f

(Я cos т-Ь sin T) dx

Tsint+yf)-

где x, - периодические функции. Для a и p из начальных условий (38.7) получаем:

а + х,(0) = 0, -р + у,(0) = 0

и, следовательно,

а + (2я) = 0, - р + у (2л) = 0. (38.17)

Отсюда, учитывая, что все функции х, Уд, Xj ], У; 1 - периодические, а также учитывая начальные условия (38.7) и соотношения (38.17), из (38.6)) получим:

(x),=j. = c + c*/(ftCosT + Q,sinT)rft + c*+i(..-)+ ••• (38.18)

Найдем теперь эту же величину, исходя из результатов § 36. Согласно этим результатам при в = 2я на основании (36.6), (36.9) и (36.13) для величины г, а следовательно, также и для величины х = лсо5в, будем иметь:

()о=2я = + 2"+"(---)+ ••• (38.19)

В обеих формулах (38.18) и (38.19) с обозначает одну и ту же величину - значение лих при / = в= 0. Сравнение этих формул показывает, что ni = k, так как при t = T полярный угол отличается от 2л на величину порядка (относительно с) не менее k, и что g действительно определяется формулой (38.16).

) Так как мы ограничиваемся в подстановке (38.3) только конечным числом членов, то правые части уравнений (38.5) будут по-прежнему аналитическими (простыми полиномами) относительно с и ряды (38.6) будут сходиться на отрезке О < т < 2я, если с достаточно мало.

основании (38.14) вид



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [45] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0085