Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) См., например, Малкии И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1956.

Вопрос устойчивости решается знаком величины g. При > О невозмущенное движение неустойчиво, а при g <iO оно устойчиво асимптотичеу<и.

Таким образом, для решения задачи устойчивости мы можем руководствоваться следующим правилом.

Преобразуя уравнения (38.1) при помощи подстановки (38.4) к виду (38.5), пытаемся удовлетворить им рядами

Х = СС08Т + с2Х2(Т)+сЗХз(Т)+ ...,) y==CSin Т+с2у2(Т)+сЗуз(Т)+ .... I

где с - произвольная постоянная, а Xj (т), yj (т) - периодические функции т периода 2л, удовлетворяющие начальным условиям (38.7). Для определения функций х, У/, получим уравнения вида (38.9). Эти уравнения будут допускать периодические решения, если выполняются условия (38.15). Первое из этих условий однозначно определяет постоянную а второе условие может как выполняться, так и не выполняться. В первом случае уравнения (38.9) будут допускать периодическое решение, однозначно определяемое начальными условиями. И если это будет иметь место для всех значений k, как бы велико это число ни было, то невозмущенное движение будет устойчиво, ряды (38.20), а также ряд (38.3) будут сходиться и представят периодическое решение и период уравнений (38.1).

Если при вычислении функций Х/,, у мы придем к такому значению индекса k, для которого второе условие (38.15) не выполняется, то невозмущенное движение будет неустойчиво, если величина g, определяемая формулой (38.16), будет положительна, и асимптотически устойчиво, если она будет отрицательна.

Приведенное правило дает очень удобный способ определения периодических решений уравнений (38.1), когда они существуют, и периода этих решений. Сами решения при этом представляются в очень удобной для практики форме. Эти решения имеют большое значение в теории нелинейных колебаний).

Заметим в заключение, что величина А, всегда получается равной нулю. Это непосредственно вытекает из (38.16) и (38.8). Можно доказать, что вообще первая отличная от нуля величина hj имеет четный индекс.

Пример 1. Рассмотрим снова систему

~ = ~у, .=rx -рл;2 -Yxy2-4-ay3.

Полагая

= Т(1+А2С2+ ...),



г- = - Уз - AjSinT, = Xg-j-COST - Ysin2 TcosT--asinT.

dx ~ -i"d-i

Уравнения для и Уз не содержат резонирующих гармоник, и потому Х2 н Уг получаются периодическими. Функции же х и Уз не получатся периодическими, так как для них постоянная g на основании (38.16) имеет вид

2Я 2я 2Я

sin*TrfT~j sin3TcosTfifT==Tr-

sinTrfT

и, следовательно, отлична от нуля. Вопрос устойчивости решается при этом знаком g, т. е. знаком а.

Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим уравнение

4= Xsinx = -A,2jc + x3 --jc5+ ... (38.21)

определяющее, как известно, колебания математического маятника около его нижнего положения равновесия.

В рассматриваемом случае имеет место интеграл энергии

y2 2(cosx- 1)= л;2 + у2 -... =

const

и следовательно, начало координат х - - = 0 является центром.

Равновесие, таким образом, устойчиво, и общее решение уравнения (38.21) будет периодическим. Найдем это решение. Делая

= j(l+A2c2 + A4c4+ ...). (38.22)

получим уравнение

будем иметь:

If = (X - Рх2 -yxf + af) (1 ~ A2c2 + ...).

Этой системе пытаемся удовлетворить рядами (38.20). Для коэф-фиилентов этих рядов получаем уравнения

= -У2. = X2-PcOs2t=X2--(l+COs2t).



которому стараемся удовлетворить рядом

х = ссо5-с-\-сХз{х)-\-сх(х)-\- .... (38.23)

где х (т) - периодические функции т периода 2л, удовлетворяющие условиям Xfi(0) = 0. При этом ряд (38.22) содержит только четные степени с, а ряд (38.23) только нечетные степени с, так как уравнение (38.21) не изменяется при замене л; на -х. Имеем:

dX3 , cosт

Хз - 2/22 cos т +-g-=

= - л;з+(у-22)cost + cos3t. (38.24)

Для того чтобы это уравнение имело периодическое рещение, необходимо, чтобы коэффициент при cost обращался в нуль. Таким образом, получаем:

после чего из уравнения (38.24), принимая во внимание начальные условия, будем иметь:

3 = Т92 " Ж 3t. Для 5 имеем уравнение

= - 5 + (- 24 + -гйб ) cos т + cos Зт - cos 5т. из которого находим:

h - LL "" 3072 •

5 = - cos т - cos Зт -f cos 5т.

Этим приближением мы и ограничиваемся. Таким образом, периодическое рещение уравнения (38.21) и его период определяются формулами:

л; = с cos т + сзз (т) -f сх (t) .... 5 = - бЖ - Ж" Зт + cos 5т.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0067