Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Здесь с - начальная амплитуда колебаний. Начальная скорость равна нулю. Заменяя / на /-(-а, где а - произвольная постоянная, получим общее решение уравнения (38.21).

§ 39. Вспомогательное предложение.

Нам понадобится в дальнейшем одно вспомогательное предложение, являющееся непосредственным обобщением теоремы 2 § 20.

Пусть и].....суть k заданных форм га-го порядка переменных

.....x„. Требуется определить условия, при которых существуют k других форм г»!.....того же порядка, удовлетворяющих системе уравнений

С.Л ... +ЛЛ)-- = 9аг-1+ ... +9;,г-, + и, (39.1)

5 = 1

(/=1. 2.....Щ,

где Яц-некоторые постоянные.

Обозначим через pj.....р„ корни уравнения

Pl2 Р22 - {

Pin Pin

а через щ, щ.

Рп1 Рп2 Рпп - Р

.., }Cj - корни уравнения

11-» 4l2 ••• 4lk Я21 - ... Я21г

= 0,

(39.2)

= 0.

(39.3)

Имеет место следующее предложение.

Теорема. Если между корнями уравнений (39.2) и (39.3) не существует никаких соотношений вида

raiPi+ra2p2+ ••• Ч-и„Р„ = Яг. (39.4)

гдет.....га„ - целые неотрицательные числа, связанные соотношением

И1 + И2+ ... = га, (39.5)

то существует одна и только одна система форм т-го порядка

"»!.....v, удовлетворяющих уравнениям (39.1).

Доказательство. Имея в виду применить метод индукции, рассмотрим сначала случай А == 1. Допустим, следовательно, что



5=1 *

(39.6)

где и - форма т-го порядка. Число и будет, очевидно, в рассматриваемом случае единственным корнем уравнения (39.3). Так как

dv дх.

то уравнение (39.6) можно переписать в виде

[PSXXX+ ... +(р55--)5+ ••• +Ллл)=И-

5 = 1

Применяя теорему 2 § 20, мы можем утверждать, что это уравнение имеет решение и притом единственное, если не существует зависимостей вида

(39.7)

m,p; + m2P2+ ... +»„р; = о.

где т,.....т„ - целые неотрицательные числа, связанные соотношением (39.5), а р - корни уравнения

РП- - -9

Р22-

т

Но, очевидно, имеем:

Pnn-Jfr-P

= 0.

и следовательно, соотношение (39.7) переходит в соотношение

п,р,+ ... +п„р„ = -(т,+ ... +т„)к=гк,

откуда и вытекает справедливость нашей теоремы для k=l.

Рассмотрим теперь случай А> 1. Если мы введем в рассмотрение

формы Ш], .... Wfi, связанные с формами •»]..... Vg, неособенной

линейной подстановкой

(/ = 1. 2.

предложено одно уравнение



(/=1, 2.....k).

где Ui = 2 " "у будут также известными формами /я-го порядка. Коэффициенты лу связаны с коэффициентами соотношением

r = a-qa,

где г-матрица коэффициентов Гц, q - матрица коэффициентов q, а а - матрица коэффициентов а. Отсюда следует, что уравнение

к - х£ =

Глл-Л

Г21 -22 - «

(£ - единичная матрица) имеет те же корни, что и уравнение (39.3). Действительно, имеем:

Iг - iiE\= I a-ia - x£ = a-i (q - y.E)a\ =

=a- I • 19 - иЕ • I a = 9 - x£ ,

что и доказывает наше утверждение.

Установив это, допустим, что теорема доказана для системы с k-l неизвестными функциями, и покажем, что она останется справедливой и для системы с k неизвестными функциями. С этой целью рассмотрим систему линейных однородных уравнений

4ifli+ ••• -Ь(9« ->ti)a,+ ... 4-9га* = 0 (=1- 2- •••• *)•

Так как определитель этой системы равен нулю, то она имеет решение, в котором хотя бы одна из величин отлична от нуля. Допустим для определенности, что ajO. Тогда, вводя вместо формы г»1 форму W, определяемую равенством

мы вместо первого уравнения (39.1) получим уравнение

S (ll + • . . + PsnX„) = «1 -\-~Ul,

к

где «1 = 2 <(И< - известная форма /я-го порядка.

(39.8)

то из (39.1) получим для этих форм следующие уравнения:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018