(у = 2.....k).

где -некоторые постоянные, которые нам нет необходимости выписывать явно.

Уравнение (39.3) для преобразованной системы имеет вид

Kj - к О

1 22

Г09 - X . . . Г

= (Ki -X)

г 22 - н

и так как по доказанному оно инвариантно относительно неособенного линейного преобразования, то корнями уравнения

/22 -и

будут величины щ.....

Величина Kj, как и остальные корни уравнения (39.3), не связана, по условию, с величинами pi.....р„ никакими соотношениями

вида (39.4), и поэтому, по доказанному, уравнение (39.8) допускает одно и только одно решение для w в виде формы га-го порядка. Подставив это решение в уравнения (39.9), мы получим для определения V2.....Vf. систему вида (39.1) с k-1 неизвестными функциями. Эта система, по предположению, допускает одно и только одно решение для .....v,. Переходя к первоначальным переменным fj, fj, мы получим, таким образом, одно и только одно решение системы (39.1).

Итак, допустив, что теорема справедлива при k - 1 неизвестных функциях, мы доказали, что она остается справедливой и при k неизвестных функциях, и так как она доказана для k=\, то она справедлива для всякого k.

Пример. Пусть предложена следующая система:

С/=1. 2.....А; г-д = г-+, = 0).

Остальные уравнения (39.1) примут вид dvj

KPsii - • • • -Г Psnn)

где Ui..... - заданные формы произвольного порядка т,

а X - положительное число. Предположим, что все корни уравнения (39.2) имеют отрицательные вещественные части. В этом случае

система (39.10) имеет одно и только одно рещение для .....

в виде форм т-го порядка.

Действительно, корни уравнения (39.3), как можно показать, в рассматриваемом случае будут

± XI, ± ЪХ1,

± {к-Ъ)Х1, ±{k - l)Xl,

если k - число четное, и

О, ± 2X1, ± Ш..... ±{k

1)Я/,

если k - число нечетное. Очевидно, что в этом случае соотнощения (39.4) не могут иметь место ни при каких целых неотрицательных m-i.....m„, не равных нулю одновременно, и потому теорема

применима при любом т.

§ 40. Исследование системы (/i-f-2)-ro порядка в частном случае.

Мы переходим теперь к рассмотрению системы (д -f- 2)-го порядка при д > 0. Дифференциальные уравнения возмущенного движения, как мы видели в § 35, имеют вид

= - Xy-j-X{x, у. xi, -Xx+Yix, у, Xi.....х„),

dt dy

= P.li +••-+ P,nX„ +- PsX +

+ ч,уЛ-Лх> у. Xi, (s= 1, 2.....n).

причем коэффициенты pj таковы, что уравнение

Pn - P Рх2 Рт

Рп 22 - Р • • • Р2п

(40.1)

Рпп -9

(40.2)

имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

В этом параграфе мы дадим рещение задачи устойчивости для системы (40.1) при некотором частном предположении. Как мы увидим в следующем параграфе, к этому частному случаю приводится задача и в общем случае.

Обозначим через Х°{х, у), КСх, у), Х{х, у) функции переменных X и у, в которые обращаются функции X, У w Х, если в них отбросить все члены, зависящие от Xj, .... х„, так что

Л-оСх, у) = Л(х, у, 0.....0),

уо{х, у) = К(х, у, 0.....0),

Х1<х, у)Х,{х, у, 0.....0).

Рассмотрим систему второго порядка

--Ху + Л-оСх, у), = Хх+У{х, у). (40.3)

Решая задачу устойчивости для этой системы, мы встретимся с одним из двух случаев: с общим случаем, когда задача решается конечным числом первых членов в разложениях функций Х и К" (случай фокуса), и особенным случаем, когда требуется рассмотрение членов сколь угодно высоких порядков (случай центра). Предположим, что мы имеем дело с первым из этих случаев. Пусть 2N- 1 - наивысший порядок членов разложений функций Л"" и К", от которых зависит решение задачи устойчивости для системы (40.3). Как мы видели (§ 37, примечание), этот порядок всегда нечетный. Тогда мы будем предполагать, что для уравнений (40.1) выполняются следующие два условия:

1) все постоянные и равны нулю;

2) разюжения функций "начинаются членами не ниже (2Л/-1)-го порядка.

Покажем, что если эти условия выполняются, то задача устойчивости для системы (га-f-2)-го порядка (40.1) решается системой второго порядка (40.3), а именно: если для системы (40.3) получается неустойчивость, то и для системы (40.1) будет иметь место неустойчивость и, наоборот, устойчивость для системы (40.3) обусловливает устойчивость и для системы (40.1).

Таким образом, при выполнении указанных условий для решения задачи устойчивости мы попросту отбрасываем все уравнения, соответствующие некритическим корням, а в уравнениях, соответствующих критическим корням, отбрасываем все члены, содержащие некритические переменные.

Для доказательства справедливости наших предложений поступим так же, как и в случае одного нулевого корня. Попытаемся построить для уравнений (40.1) функцию Ляпунова в виде суммы функций Ляпунова, построенных отдельно для системы (40.3) и для системы последних га уравнений (40.1).

Задача заключается в построении функции V(x, у, Ху.....х„),

обладающей знакоопределенной производной.