Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

(у = 2.....k).

где -некоторые постоянные, которые нам нет необходимости выписывать явно.

Уравнение (39.3) для преобразованной системы имеет вид

Kj - к О

1 22

Г09 - X . . . Г

= (Ki -X)

г 22 - н

и так как по доказанному оно инвариантно относительно неособенного линейного преобразования, то корнями уравнения

/22 -и

будут величины щ.....

Величина Kj, как и остальные корни уравнения (39.3), не связана, по условию, с величинами pi.....р„ никакими соотношениями

вида (39.4), и поэтому, по доказанному, уравнение (39.8) допускает одно и только одно решение для w в виде формы га-го порядка. Подставив это решение в уравнения (39.9), мы получим для определения V2.....Vf. систему вида (39.1) с k-1 неизвестными функциями. Эта система, по предположению, допускает одно и только одно решение для .....v,. Переходя к первоначальным переменным fj, fj, мы получим, таким образом, одно и только одно решение системы (39.1).

Итак, допустив, что теорема справедлива при k - 1 неизвестных функциях, мы доказали, что она остается справедливой и при k неизвестных функциях, и так как она доказана для k=\, то она справедлива для всякого k.

Пример. Пусть предложена следующая система:

С/=1. 2.....А; г-д = г-+, = 0).

Остальные уравнения (39.1) примут вид dvj

KPsii - • • • -Г Psnn)



где Ui..... - заданные формы произвольного порядка т,

а X - положительное число. Предположим, что все корни уравнения (39.2) имеют отрицательные вещественные части. В этом случае

система (39.10) имеет одно и только одно рещение для .....

в виде форм т-го порядка.

Действительно, корни уравнения (39.3), как можно показать, в рассматриваемом случае будут

± XI, ± ЪХ1,

± {к-Ъ)Х1, ±{k - l)Xl,

если k - число четное, и

О, ± 2X1, ± Ш..... ±{k

1)Я/,

если k - число нечетное. Очевидно, что в этом случае соотнощения (39.4) не могут иметь место ни при каких целых неотрицательных m-i.....m„, не равных нулю одновременно, и потому теорема

применима при любом т.

§ 40. Исследование системы (/i-f-2)-ro порядка в частном случае.

Мы переходим теперь к рассмотрению системы (д -f- 2)-го порядка при д > 0. Дифференциальные уравнения возмущенного движения, как мы видели в § 35, имеют вид

= - Xy-j-X{x, у. xi, -Xx+Yix, у, Xi.....х„),

dt dy

= P.li +••-+ P,nX„ +- PsX +

+ ч,уЛ-Лх> у. Xi, (s= 1, 2.....n).

причем коэффициенты pj таковы, что уравнение

Pn - P Рх2 Рт

Рп 22 - Р • • • Р2п

(40.1)

Рпп -9

(40.2)

имеет корни только с отрицательными вещественными частями.

В этом параграфе мы дадим рещение задачи устойчивости для системы (40.1) при некотором частном предположении. Как мы увидим в следующем параграфе, к этому частному случаю приводится задача и в общем случае.



Обозначим через Х°{х, у), КСх, у), Х{х, у) функции переменных X и у, в которые обращаются функции X, У w Х, если в них отбросить все члены, зависящие от Xj, .... х„, так что

Л-оСх, у) = Л(х, у, 0.....0),

уо{х, у) = К(х, у, 0.....0),

Х1<х, у)Х,{х, у, 0.....0).

Рассмотрим систему второго порядка

--Ху + Л-оСх, у), = Хх+У{х, у). (40.3)

Решая задачу устойчивости для этой системы, мы встретимся с одним из двух случаев: с общим случаем, когда задача решается конечным числом первых членов в разложениях функций Х и К" (случай фокуса), и особенным случаем, когда требуется рассмотрение членов сколь угодно высоких порядков (случай центра). Предположим, что мы имеем дело с первым из этих случаев. Пусть 2N- 1 - наивысший порядок членов разложений функций Л"" и К", от которых зависит решение задачи устойчивости для системы (40.3). Как мы видели (§ 37, примечание), этот порядок всегда нечетный. Тогда мы будем предполагать, что для уравнений (40.1) выполняются следующие два условия:

1) все постоянные и равны нулю;

2) разюжения функций "начинаются членами не ниже (2Л/-1)-го порядка.

Покажем, что если эти условия выполняются, то задача устойчивости для системы (га-f-2)-го порядка (40.1) решается системой второго порядка (40.3), а именно: если для системы (40.3) получается неустойчивость, то и для системы (40.1) будет иметь место неустойчивость и, наоборот, устойчивость для системы (40.3) обусловливает устойчивость и для системы (40.1).

Таким образом, при выполнении указанных условий для решения задачи устойчивости мы попросту отбрасываем все уравнения, соответствующие некритическим корням, а в уравнениях, соответствующих критическим корням, отбрасываем все члены, содержащие некритические переменные.

Для доказательства справедливости наших предложений поступим так же, как и в случае одного нулевого корня. Попытаемся построить для уравнений (40.1) функцию Ляпунова в виде суммы функций Ляпунова, построенных отдельно для системы (40.3) и для системы последних га уравнений (40.1).

Задача заключается в построении функции V(x, у, Ху.....х„),

обладающей знакоопределенной производной.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [48] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014