Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

+ [Xx-f КО(х. у)+У{х. у. XI.....х„)] +

+ S Ц [Psl +••+ Psnn + 1(Х.У)4-Х(Х.У.Х,,....Х„)].

где функции X , Y , Xs обращаются в нуль при Х; = . . . = х„ = О и обозначают совокупности тех членов в разложениях X, У и Х, которые зависят от Xj.....х,.

Как было показано в § 37, функция Ляпунова для системы (40.3) имеет вид

(/==д:2 у2 д(, У)Ч-/4(. У)+ ••• +hN-iix> у).

где fi - формы /-Г0 порядка переменных х и у. Для производной этой функции, составленной в силу уравнений (40.3), будем иметь:

( Ху + ХО)Н- iXx+Y =

= 0(х2 + у2)+ S ф„р(Х. У)Х°уР, а+3 = 2ЛГ

где фр(х, у) обращаются в нуль при х = у = 0. Задача устойчивости для системы (40.3) решается при этом знаком О. Невозмущенное движение будет неустойчиво при О > О и асимптотически устойчиво при О < 0. Нам нужно показать, что то же самое будет и для системы (40.1).

Пусть W (xj.....д:„)-квадратичная форма переменных Xj, ..., х„,

удовлетворяющая уравнению

S If (ii + • • • + PsnXn) = S (40.4)

Так как все корни уравнения (40.2) имеют отрицательные вещественные части, то форма W будет определенно-отрицательная. Рассмотрим функцию

1/ = 0[х2 + у2+/з(х,у)-- ...+f2N-l(X,y)]hW(Xi.....Х„) =

= ф(х. y)-\-W{xi.....х„) (40.5)

и составим ее производную по / в силу уравнений (40.1). Для этой производной имеем:

= + У) + (х. у. xi.....х„)] +



2 /.

Исследуем подробнее функцию Р. Эта функция не будет содержать члены ниже третьего порядка, так как единственными членами

второго порядка в выражении будут члены (40.4). Функция Р

не содержит в своем разложении членов, свободных от Ху.....х„,

так как все такие члены в содержатся в выражении ?,( Ху+;ГО)+--(Хх+КО)

И, следовательно, могут быть включены в группу (40.7).

Из членов, линейных относительно х.....х„, в функции Р будут

содержаться лишь такие, порядок которых относительно х п у меньше 2N. Остальные члены этого типа могут быть включены

в группу (40.7). Члены, имеющие относительно Ху.....х„ второй и

более высокие порядки, могут быть все включены в (40.7) и поэтому в Р не содержатся.

Если бы функции Х, к, а также функции Х\ обращались тождественно в нуль, то производная имела бы вид

02(х2+у2)ЛА+0 2 Ф„pXV+2+ 2 fljXX,,

где /,у - аналитические функции переменных х, у, Ху.....х„, обращающиеся в нуль при X = у = Ху= ... = х„ = 0. Эта производная была бы, очевидно, определенно-положительной функцией ra-f-2 переменных х, у, х,. Но так как вышеуказанные соотношения,

вообще говоря, не выполняются, то производная не получится определенно-положительной. Эта производная будет иметь вид

а+р = 2ЛА п п

+ S fijiX) + Pix- У .....nl (40.6)

где теперь уже ф содержат и переменные Ху, . . ., х„ и обращаются в нуль при x~y = Xi=...=x„ = 0, а Р-совокупность всех членов, которые не могут быть отнесены ни к группе

GHx + yY+ 2 Ф„р"У (40.7)

ни к группе



:очх2+уг+ 2 ф;рх«ур+5;х2+ 2 /:,х,х+

+ Р2+ ... +Р , + р; + /-;+ ... +р; .

где фр. функции такого же вида, как и ф, /.., а Р*,

Pi..... 2лг-1 - формы относительно х, у, порядок которых

равен их индексу и коэффициенты которых являются линейными функциями от X,.....х. Функции Р*.....отличаются, вообще

говоря, от функций Pj..... PiN-v Выпишем подробней функцию Р*. Пусть

PA = «iX* + a2X*-iy-- ... +ихУ*-1 + Иа+,У*.

Таким образом, функция Р имеет вид

PPiXi.....Х„, X. У) + Рз(Х1, х„, X, у)+ ...

••• +Р2уу-1(1.....X, у), (40.8)

где P/i - формы ft-ro порядка относительно хну, коэффициентами которых являются линейные формы переменных х, . . ., х„.

Наличие в слагаемого Р нарушает ее знакоопределенность.

Нам нужно будет поэтому функцию V изменить таким образом, чтобы в выражении ее производной не содержалось членов, входящих в Р, т. е. линейных относительно Xj и имеющих порядок относительно х и у, меньший 2N. С этой целью введем в функцию V добавочное слагаемое вида

QkiXi.....х„. X, у) =

= vx" + г»2Х*-1у + ... + v.xy"- + г»й+1у*, (40.9)

где 2 <; й <; 2ЛГ - 1, а Vj - линейные формы переменных Xi.....х„.

Исследуем те новые члены, которые внесет это слагаемое в выражение-. Члены, свободные от .....х„, могут получиться лишь за

счет производных от первых множителей, т. е, за счет функций Х1, и так как разложения этих функций начинаются членами не ниже {2N-1)-го порядка, то указанные члены будут иметь порядок не ниже 2ЛГ+А- 1 2ЛГ-(- 1 и могут быть включены в группу (40.7). Новые члены, линейные относительно Xj, ..., х„, будут иметь относительно X, у порядок, не меньший /г, так как общий порядок членов, вносимых слагаемым (40.9) в производную, будет, очевидно, не меньше й + 1.

Таким образом, производная от функции

К = Ф(х, у) + Г(х1.....x„) + Qk

будет иметь вид



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0103