Главная - Литература

0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

5] о МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ 23

§ 5. О методах решения задачи устойчивости.

Исследование устойчивости не представляет обычно серьезных трудностей в тех случаях, когда дифференциальные уравнения возмущенного движения удается проинтегрировать в замкнутой форме. Но такого рода случаи являются исключительными и на практике почти не встречаются. Поэтому усилия исследователей были направлены к тому, чтобы разработать методы решения задачи устойчивости, не прибегая к интегрированию уравнений движения. При этом предшественники Ляпунова пользовались обычно методом линеаризации. Этот метод заключается в следующем.

Разложим правые части уравнений возмущенного движения (3.2) в ряды по степеням х. Для большинства механических задач такое

разложение возможно. Так как Xg(t, 0.....0)=:0, то разложения

не будут содержать свободных членов, и мы можем писать

= р,х, + ... + р,„х + Х] {tx,.....х„) (5.1)

(5=1, 2.....я),

где Xs - совокупность членов выше первого порядка в функциях X. И вот, поскольку в задаче устойчивости приходится рассматривать решения уравнений (5.1) при малых начальных значениях величин х, естественно ожидать, что характер этих решений определяется совокупностью членов наинизшего измерения в уравнениях (5.1). Другими словами, естественно ожидать, что для решения задачи устойчивости достаточно рассмотреть систему линейных уравнений

= ... (5 = 1,2.....я) (5.2)

- так называемую систему уравнений первого приближения.

Так решали задачу устойчивости Томсон и Тэт), Раус) и Н. Е. Жуковский ). При этом задача значительно упрощалась, а для случая установившихся движений разрешалась элементарно, так как при pj постоянных уравнения (5.2) интегрируются в замкнутом виде.

Но такого рода решение задачи является нестрогим и, вообще говоря, неправильным. Замена нелинейных уравнений (5.1) линейными уравнениями (5.2) является, по существу, заменой одной задачи другой, с которой первая может не иметь ничего общего. Может случиться, что невозмущенное движение при исследовании лишь первого приближения окажется устойчивым, хотя оно в самом деле неустойчиво, и наоборот.

) Thomson and Та it. Treatise on Natural Philosophy, т. I, 1879.

2) R о u t h, A Treatise on the Stability of a given State of motion.

5) Жуковский и. е., о прочности движения. Учен. зап. Моск. ун-та, отдел физ.-матем., вып. 4, 1882. См. также: Жуковский и. Е., Собрание сочинений, т. 1, Гостехиздат, 1948.



dx . dy

будем иметь;

(5.6)

х = Xq cos t - Уо S" t,

у - XoSin-j-ygCOs,

где Xg и Уо-начальные значения (при = 0) величин х и у. Из (5.6) имеем, что

если только

Следовательно, в первом приближении невозмущенное движение устойчиво. Однако устойчивость, как это вытекает из (5.6), не будет асимптотической. В действительности же, как мы видели, невозмущенное движение либо асимптотически устойчиво, если а отрицательно, либо неустойчиво, если а положительно. Таким образом,

Поясним это примерами. Допустим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид

уах\ =х + ауЗ, (5.3)

где а - постоянная. Рассмотрим произвольное решение x = x{t), y = y{t) этих уравнений и составим производную от выражения Так как функции х (t) и y{t) удовлетворяют уравнениям (5.3), то будем иметь:

у {(О + Уii)}=x{t){~y (t) axHt)} у (t) [х (t) ayHt)] = = a{xHt) + yHt)}. (5.4)

Установив это, допустим сначала, что а > 0. Тогда производная от функций x (/)--y () будет все время положительной, и, следовательно, эта функция будет с возрастанием t возрастать. При этом по мере возрастания этой функции ее производная, как это видно из (5.4), будет также возрастать. Отсюда непосредственно вытекает, что как бы малы ни были начальные значения х (to) и у (to), функция ()--y () с неограниченным возрастанием t будет возрастать неограниченно, и, следовательно, невозмущенное движение неустойчиво. Напротив, при а < О невозмущенное движение будет устойчиво

асимптотически, так как при этом [x () + y (01 < О, и функция

yii) оставаясь положительной, будет все время убывать, неограниченно стремясь к нулю.

С другой стороны, отбрасывая в уравнениях (5.3) члены третьего порядка, мы для общего решения полученных таким образом уравнений первого приближения



5] о МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ 25

в рассматриваемом случае характер невозмущенного движения определяется членами высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.

В качестве второго примера рассмотрим колебания математичь-ского маятника. За невозмущенное движение примем колебание, определяемое начальными условиями ф(0) = а, ф(0) = 0, где ф - угол отклонения маятника. Дифференциальное уравнение возмущенного движения, как это мы видели в § 3, имеет вид (3.7). Отбрасывая члены высших порядков, получим уравнение первого приближения:

-£ = -f cos/(0. (5.7)

Рассмотрим возмущенное движение, определяемое начальными условиями д:(0) = 0, х(0) = р. Период возмущенных колебаний отличается от периода невозмущенных колебаний, и поэтому, как мы это видели в § 3, настанет такой момент времени, когда разность значений ф в обоих колебаниях превзойдет некоторую не зависящую от р величину, как бы мала р ни была. Покажем, однако, что если эту разность значений ф, т. е. величину х, определять из уравнения первого приближения (5.7), то она при достаточно малой р будет оставаться меньше любой наперед заданной величины.

В самом деле, подставляя функцию f {t) в уравнение (3.6), которому она удовлетворяет, и дифференцируя полученное тождество по t, будем иметь:

(df\ g df

dt \ dt ,

Следовательно, функция x = ~ удовлетворяет уравнению (5.7). Так как при этом функция f {t) удовлетворяет начальным условиям /(0) = а, (-§f)o ™ функция будет удовлетворять начальным условиям =0, ("] =--j-sina. Следовательно, искомое частное решение уравнения (5.7) имеет вид

g sin а dt

Отсюда, учитывая, что - функция ограниченная, убеждаемся,

что величина х будет оставаться меньше любого наперед заданного числа е, если величина р достаточно мала. Таким образом, и в рассматриваемом примере первое приближение дает неправильное описание характера движения.

.Можно, однако, привести и такие примеры, когда первое приближение действительно решает задачу устойчивости. Отсюда возникает



0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.008