(р,,х, + ... -f р,„х + Xjvjy - (ft - у + 2) Xvj y + aj

(/=1. 2.....г»о = г»4+2 = 0)-

Выберем теперь функцию (40.9) таким образом, чтобы функция Р*

обратилась в нуль. Для этого придется линейные формы .....t+j

выбрать так, чтобы выполнялись уравнения

/ = /2= ... =Д1 = 0. (40.10)

Эти уравнения имеют как раз тот вид, который мы рассмотрели с качестве примера в предыдущем параграфе. Мы видели, что в рассматриваемом нами случае, когда уравнение (40.2) имеет корни только в отрицательными вещественными частями, уравнения (40.10) имеют одно и только одно рещение для Vj.

Выбрав таким образом функцию (40.9), мы уничтожим в выражении то слагаемое функции Р, которое является формой k-то

порядка относительно х и у, не изменяя при этом тех слагаемых, которые имеют меньший порядок. Отсюда следует, что, добавляя

к V последовательно слагаемые вида (k = 2, 3.....2N- 1), мы

можем последовательно уничтожить в функции Р все члены. Другими словами, мы можем так подобрать функции Qg- •••• Q2n-1 каждая из которых является формой соответствующего порядка относительно X и у и линейной относительно Xj.....х„, что производная

от функции

У = 0(х2--у2--/з+ ... +/2N-l) + W(Xy.....Х„) +

+ Q2(. у. 1.....Х„)+ ... +Q2Ni.X, у, Xi.....Х„),

составленная в силу уравнений (40.1), будет иметь вид

= G2(x2 + y2)v+ 2; ф„p;,ayP + 2;4- S «РаР а+р=2ЛА 5=1 а, р=1

где Фар И Fa? обращаются в нуль при х = у = Xj = .. . = х„ = 0.

Производная будет функцией определенно-положительной. Сама

функция V имеет вид

V = Qix+y + W(xi.....х„)-Р{х. у. .....xJ.

где В; (Xi.....х„) - линейные формы от Xi, .... х„. Тогда, как

легко видеть, будем иметь:

где F- аналитическая функция переменных х, у, х.....х„, разложение которой начинается членами не ниже третьего порядка.

Так как форма W определенно-отрицательна, то V будет определенно-отрицательной функцией всех «-f-2 переменных х, у, х,, если G < О, и знакопеременной функцией, если G > 0. Отсюда на основании теорем Б и В заключаем, что, так же как и для системы второго порядка (40.3), невозмущенное движение для полной системы (40.1) будет асимптотически устойчиво при G<0 и неустойчиво при G > 0. Таким образом, наши утверждения доказаны.

§ 41. Исследование системы (/i-f-2)-ro порядка в общем случае.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели систему (40.1) при некоторых частных предположениях. Чтобы решить задачу в общем случае, преобразуем эту систему к такому виду, чтобы для нее выполнялись ограничения предыдущего параграфа. Для этого необходимо систему преобразовать так, чтобы она сохранила вид (40.1), но чтобы разложения правых частей уравнений, соответствующих некритическим переменным, после того как в них отбросить все члены, содержащие эти переменные, начинались членами достаточно высокого порядка.

С этой целью введем в уравнениях (40.1) новые переменные 1.....„ вместо переменных Xi, .... х„ при помощи подстановки

l,= x, - v,{x, у) (s= 1,

(41.1)

где v,{x, у) - аналитические функции переменных хну, обращающиеся в нуль при д;=у = 0. Преобразованные уравнения будут

= -Ху + Х(х, у, ll.....1„) =

= -Ху+Х{х, у, li+г;,.....„ + г„).

= Хх+У{х. у, I,.....1„) =

= Хх + У{х, y.lx + Vi.....l„ + v„).

%- = аДх, у, I,.....UPsih-h •• +Psnln +

-h PsX + 4sy+six, у, , + г»1.....„ + г»„) -

(- Ху + X) + {Хх+ K)J Н- р„г»1 + ... + p,„v„

(41.2)

Обозначим через Ef\x, у) совокупность всех членов в функ-дщях 3, не зависящих от некритических переменных I,.....{„.

Будем, очевидно, иметь:

af(x. у)=-[Рл1+ ... +Р,Л + Р,х + 9,у +

+ Х,{х, у, Vy.....v)~\[~Xy + X{x. у. V,.....v,,)]

+ [Хх Y{x, у, Vy.....v„)]

(41.3)

Подберем теперь функции Vy, v„ таким образом, чтобы разложения функций В° начинались членами не ниже т-го порядка, где m - достаточно большое число. Тогда система (41.2) будет иметь желаемый вид и для решения задачи устойчивости отбросим в первых двух уравнениях этой системы все члены, содержащие i,.....1„,

и рассмотрим полученную таким образом систему второго порядка

~}У+Х{Х. у, Vyix, у).....v„{x, у)).

=.lx+Y{x, у, Vyix, у).....г-„(х, у)).

(41.4)

Может случиться, что как бы велико ни было число т, задача устойчивости для системы (41.4) не решается членами порядка ниже п. Этот случай будет исключительным, особенным, и мы его рассмотрим в § 43.

Но может, однако, случиться, и это будет общим случаем, что при m достаточно большом задача устойчивости для системы (41.4) решается членами не выше т-го порядка (т при этом будет обязательно нечетным), так что члены порядка выше m на решении задачи не скажутся. В этом случае задача устойчивости и для исходной системы (д + 2)-го порядка (40.1) решается системой второго порядка (41.4), а именно, если для системы (41.4) имеет место неустойчивость, то и для системы (40.1) имеет место неустойчивость, и если для системы (41.4) получается асимптотическая устойчивость, то и для системы (40.1) получится асимптотическая устойчивость.

Действительно, так как по условию задача устойчивости для системы (41.4) решается членами порядка не выше m и разложения функций (41.3) начинаются членами не ниже т-го порядка, то система (41.2) удовлетворяет всем ограничениям предыдущего параграфа. Согласно полученным там результатам система (41.4) полностью решает задачу устойчивости для системы (41.2) и, следовательно, для эквивалентной ей системы (40.1).

Остается показать, как определить функции v(x, у), обращающие в нуль в выражениях (41.3) все члены до порядка т- 1 включительно. С этой целью положим:

v(x, y)u<j4. У) + Tix. y)-i- ...

(5=1. 2.....tl). (41.5)