Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

ду дх

= pvf) + ... + ру) + uf) (х, у) (41.8)

(s= 1, 2.....я; й== 1, 2.....т - 1).

Так как функции зависят только от тех vJ для которых У < ft, то уравнения (41.8) дают возможность последовательно определять формы vfK начиная с А == 1, причем для определения ©у получаются уравнения с известными правыми частями, так как на основании (41.6) и(р = рх -\-qy. Всего в рядах (41.5) нужно определить члены до (т - 1)-го порядка, если мы желаем, чтобы разложения (41.3) начинались членами не ниже т-го порядка.

Допустим, что все функции v(p, vf).....уже определены.

Тогда для нахождения vf мы получим уравнения (41.8) с известными правыми частями. Уравнения (41.8) имеют вид уравнений (39.1), рассмотренных нами в § 39. Корнями уравнения (39.2) являются сейчас величины + ki, а корнями уравнения (39.3) -

крни pi.....р„ уравнения (40.2). Соотношение (39.4) принимает

сейчас вид

(mj- mki = pj.

и так как оно не выполняется ни при каких целых неотрицательных OTi, т, то на основании теоремы § 39 система (41.8) имеет

где vf4x, у) - формы k-ro порядка переменных хну. Тогда члены первого порядка в (41.3) будут

(s= 1. 2.....п). (41.6)

а совокупность членов какого-нибудь й-го порядка имеет вид

Е<Л = - X - у) + p.vf + ... + p,„vi> + «f (X, у)

(s=l. 2.....п). (41.7)

Здесь (х, у) - формы й-го порядка, зависящие от форм vW.....

S S

Для того чтобы в функциях (41.3) не было членов первого порядка, необходимо линейные формы у (х, у) выбрать так, чтобы

удовлетворялись уравнения Sfl = 0, а для того чтобы разложения функций (41.3) начинались членами не ниже т-го порядка, необходимо, чтобы выполнялись уравнения



решение для vf\ каков бы ни был индекс k. Это решение нужно

искать в виде форм с неопределенными коэффициентами, для определения которых получатся линейные неоднородные алгебраические уравнения.

Выясним теперь, сколько членов нужно определить в рядах (41.5) при практическом решении задачи. Для этого вспомним, что если задача устойчивости для системы второго порядка решается членами не свыше какого-нибудь конечного порядка, то этот порядок всегда нечетный. В простейшем случае, который на практике и будет наиболее частым, задача решается членами третьего порядка. Следовательно, нужно, чтобы в разложениях (41.3) отсутствовали члены первого и второго порядков, для чего в функциях нужно взять лишь линейные члены г/w (х, у) и члены второго порядка у) y Определив эти члены, подставим полученные таким образом функции в уравнения (41.4) и решаем для них задачу устойчивости. Если при этом окажется, что задача членами третьего порядка не решается и требует, следовательно, рассмотрения членов, по крайней мере, четвертого и пятого порядка, то придется определить также формы у „ может быть и формы более высоких порядков, если окажется, что и члены пятого порядка не решают задачи устойчивости для системы (41.4).

Заметим, наконец, что уравнения (41.4) получаются из первых двух уравнений (40.1) заменой переменных функциями v{x, у), а уравнения (41.8) мы получим, если попытаемся найти решение системы уравнений с частными прозводными

( Ху + ;Г {х. y,v,.....л)) + (x+Y (X, у, г.,, ..., v„)) =

= Psi"i + • • • + PsnVn + PsX + + X, (X. y,v,.....v„) (41.9)

в виде рядов (41.5). Поэтому все вышесказанное приводит нас к следующему правилу.

Для того чтобы решить задачу устойчивости для системы (40.1), составляем систему уравнений с частными производными (41.9), которой стараемся удовлетворить рядами (41.5). Такие ряды (формальные) всегда найдутся и будут единственными. Этими рядами заменяем величины х в первых двух уравнениях (40.1), после чего получим систему второго порядка (41.4). Допустим, что задача устойчивости для этой системы решается конечным числом членов. Тогда если для системы (41.4) получается неустойчивость, то и для системы (40.1) будет иметь место неустойчивость, а если для системы (41.4) получится асимптотическая устойчивость, то и для системы (40.1) будет иметь место асимптотическая устойчивость.



dx . dy ,

- = -у + ахгг, = х + аугг,

= - z4-x4-y-\-f{x, у, Z),

(41.10)

где разложение функции /(х, у, z) начинается членами не ниже третьего порядка. Составим уравнение с частными производными

( у + ахг»)-- + (х + ауг»)- = -г» + х2 + у2 + /(х. у, v),

которому стараемся удовлетворить рядом

г> = г»1(х. у) + г>2(х, у)+ ...,

где Vj{x, у) - формы у-го порядка. Сначала определим формы Vi и v- Формы более высоких порядков будем определять лишь в том случае, если в этом будет необходимость. Для и имеем уравнения

dvi , dvi

-y-dT + - + x + y-ayti-axt;, .

Первое уравнение дает = О, после чего второе уравнение принимает вид

-У- + -+ + У- (41.11)

Полагая

= Лх2 + 2Вху + Су2, мы получим из (41.11) уравнения

Л + В+С = 0, Л + 2В=1. -2В + С=1, откуда находим, что = х -- у.

) Решение задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней, а также в случае одного нулевого корня, когда уравне.тия возмущенного движения не аналитичны, дано в работе: В е д р о в В. С, Об устойчивости движения. Труды ЦАГИ, вып. 327, 1937.

О количестве членов, которые необходимо взять в рядах (41.5) для решения задачи устойчивости, мы уже говорили выше). Поясним выкладки примерами. Пример 1. Пусть предложена система:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.002