Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Подставляя теперь в первые два уравнения (41.10) вместо z величину v = Vi-{-V2-{- .... получим систему второго порядка

= - у + ах (х2 + у2) + ф (X, у). х + ау(х2+у2) + ,,(х. у).

(41.12)

где разложения ф и i) начинаются членами не ниже четвертого порядка. Будем теперь решать задачу устойчивости для системы (41.12). Здесь лучше всего воспользоваться методом § 37. При этом сразу видно, что система (41.12) допускает функцию Ляпунова 2V = x2-j-y2, производная которой, имеющая вид

dV dt

= а(х2+у2)2+хф+у1).

будет функцией знакоопределенной, если только а 0. Невозмущенное движение для системы (41.12), а вместе с ней и для системы (41.10) будет неустойчиво при а > О и асимптотически устойчиво при а < 0.

При а -О задача устойчивости для системы (41.12) членами третьего порядка не решается. Однако вычисление форм v, 04 и членов более высоких порядков в разложении функции v излишне, так как при а = 0 первые два уравнения (41.10) не содержат переменной Z. Этот случай, очевидно, принадлежит к числу особенных.

Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим одну из задач устойчивости систем автоматического регулирования, исследованную А. И. Лурье 1).

Допустим, что дифференциальные уравнения движения системы (регулируемого объекта, измерительных органов, сервоприводов И т. д.) имеют вид

а=1 п+2

(/=1. 2.....

«+2).

(41.13)

где b, h., - постоянные, а /(о) - некоторая нелинейная функция, обращающаяся в нуль при о = 0. Рассмотренные нами ранее в §§ 12 И 26 уравнения систем регулирования являются, очевидно, частным случаем системы (41.13).

) Лурье А. И., О характере границ области устойчивости регулируемых систем. ПММ, т. XV, вып. 2, 1951.



Предположим, что /(о) является аналитической функцией о и имеет вид

/(0) = СО + ф202 + фзОЗ+ ...

Рассмотрим систему первого приближения

(41.14)

(/=1, 2,

«+2).

Для того чтобы положение равновесия 111= ••• -Пп+2- рассматриваемой системы было устойчивым, достаточно, чтобы вещественные части всех корней уравнения

Д(р) =

«11 -Р «12 ••• «1,л+2

«21 «22-Р • • • «2, л+2

пЛ 2, 1

л+2, 2

«л + 2, л+2 Р

= 0 (41.15)

имели отрицательные вещественные части. При этом величина области устойчивости, как это легко усмотреть из рассуждений § 26, зависит от величины этих вещественных частей. Если вещественные части хотя бы некоторых корней уравнения (41.15) численно малы, то область устойчивости может оказаться слишком малой и с точки зрения практической исследуемое положение равновесия надо будет рассматривать как неустойчивое. Как будет показано в § 44, вопрос о поведении системы в такого рода случаях будет зависеть от того, будет ли иметь место устойчивость или неустойчивость в предельном случае, когда указанные вещественные части будут равны нулю. Таким образом, задача приводится к исследованию критических случаев. Мы рассмотрим эту задачу для системы (41.13) в предположении, что уравнение (41.15) имеет пару чисто мнимых корней ± Xi при остальных корнях с отрицательными вещественными частями.

Допустим, что все корни Pi.....р„2 уравнения (41.15) являются

простыми. Рассмотрим линейную подстановку

Х = Л11+2%+---+л+2л + 2(г=1. 2.....« + 2), (41.16)

где Ац определяются уравнениями

lHn + "2H<2+ ••• + «л+2, И/, л+2 -PH«s

(i!= 1, 2.....« + 2, s= 1, 2.....«+2)

и, следовательно.



где Дар - алгебраическое дополнение элемента р-й строки и а-го столбца определителя (41.15), а - произвольные постоянные. Подстановка (41.16) преобразует уравнения (41.14) к виду

-ох. а уравнения (41.13) - к виду

{1= 1. 2.....«+2),

= РгХ,+1)202 + 1)з03+ ....

если только постоянные С; выбраны согласно условиям

п + 2

-Q =21°(Рг) Ла,

что мы и будем предполагать. Переменная о примет при этом вид

0=2 «оЛГа.

где йа - некоторые постоянные, явное выражение которых мы здесь не привохим.

Пусть р„ , j = гХ, р„2 = - 3 остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Тогда, полагая

Хп+\ = х + 1У x„2 = x~iy,

мы приведем уравнения движения к следующему окончательному виду;

о = ах -6y+a,x,+ ... + а„х„.

(41.17)

где а И 6 - вещественная и мнимая части коэффициента 2a„i (коэффициент а„2 будет, очевидно, комплексно сопряжен с a„+i). Составляя уравнения

. dv.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0071