Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

пытаемся им удовлетворить рядами

г> =г><1» + г><2)-- . . . (s=l, 2.....«).

(41.18)

Для функций получаем уравнения

откуда = 0. Вследствие этого уравнения для v имеют вид

Полагая в этих уравнениях

(Л1,л-2+2Р,ху + Л,у2),

приравнивая коэффициенты при ху, х", у и решая полученные таким образом уравнения, для А1, Р,, найдем:

1м =.

2а6Я+1рЛ«-г>2)

72 12Я («2 г,2) + 2а6р,1,

2 (Д +

4Я + р1

2а6Я-АрДа2-б2)

Ф2 (а° + 2Р.

Имея в виду решать в дальнейшем задачу методом § 36, положим в форме г»*?) x = rcosu, y=:rsinu. Тогда, принимая во внимание значения коэффициентов М,, Р,, N, получим:

г>2) = + cos 2* + sin 2*),

2(4яЧр=) 42 [2Я (а - 2а6р 2(4Я= + р,)

(41.19)

Подставляя в первые два уравнения (41.17) вместо х ряды (41.18), переходя к полярным координатам и исключая t, получим:

(41.20)



Я, = (а COS д - 6 Sin д)2 COS д.

=:-(а cosfl- -6sind)"sindcosd +

4- {2т)2(а cosd -6sind)(a + pcos 2d + YSin2d) -f-

+ "Фз («3 cos * - * Sn *)} cos й.

Здесь введены обозначения

и и и

5=1 i=i

И, следовательно, на основании (41.19)

а=-2(« + *-1. р = гЯабфгг - i- (а2 - *2) фзз, Y = X (02-62)52 +айфгз,

(41.21)

найдем:

Полагая в (41.20)

л = с + Л2(*)с2 + Лз(д)сЗ+... .

r2 = J/?2. Гз= J(/?3 + 2/?2r2)dd.

функция Г2Ф) получится, очевидно, периодической. Но тогда то же самое будет и для функции

Вследствие этого постоянная g, фигурирующая в соотношении а = + периодическая функция, определяется формулой



Если теперь входящие сюда величины выразить через коэффициенты исходной системы (41.13) и опустить несущественный положительный множитель- (a2 ft2j, то, как показал А. И. Лурье, получим:

. Р(1Ц (/ф2угР(2г(о) с. I о 0(0)1 I 3 Фз ) /л,

где £>(р) - значение определителя (41.15) при с = 0.

§ 42. Другой способ решения задачи.

Решение задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней по методам, изложенным в предыдущих параграфах, приводит обычно к очень громоздким вычислениям. Уже для системы второго порядка, если, например, решать задачу приемом § 36, приводящим обычно к наиболее простым вычислениям, приходится определять при помощи квадратур коэффициенты из уравнений (36.8), имеющих вид

где Fi являются полиномами относительно /"2, .... /".j. Хотя функции F будут получаться полиномами от cos в и sinu, вычисление указанных квадратур приводит к громоздким выкладкам, в особенности К01да задача устойчивости решается членами порядка выше третьего, ввиду быстрого усложнения функций F по мере возрастания i.

Задача значительно усложняется для систем («-4-2)-го порядка. В этом случае приходится проделывать дополнительные громоздкие вычисления, связанные с необходимостью действительного определения форм v\x, у), удовлетворяющих уравнениям (41.8). Для каждого k эти формы содержат «(А -(-1) коэффициентов, для нахождения которых мы получим из (41.8) систему из «(A-f-l) линейных неоднородных уравнений. Даже в простейшем случае, когда задача устойчивости решается членами не выше третьего порядка, необходимо, как мы видели, определить формы г»*, и vP и.

которая дает:

или, принимая во внимание (41.21),

( aft 2XaSi + 2XbS2 - aXS - - аЯфз] ,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0081