Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

=.- iXv + A,uv + A,a+ ... + + . . .

(42.3)

) М а л к и и И. Г., О решении задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней. ПММ, т. XV, вып. 2, 1951.

2) М а л к и н И. Г., Об одЙЬ.м способе решения задачи устойчивости в критическом случае пары чисто мнимых корней, ПММ, т. XV, вын. 4, 1951.

следовательно, решать две системы линейных уравнений, содержащих, соответственно, 2п и Ъп неизвестных.

Определение форм г»*/ значительно упрощается, если, следуя Ляпунову, уже в уравнениях (41.9) ввести вместо х и у полярные координаты /• и имея в виду решать затем задачу для системы второго порядка методом § 36. Еще больших упрощений можно добиться приемом, указанным автором ). Однако, вся задача значительно упрощается, если ее решать иным приемом 2), к рассмотрению которого мы сейчас и переходим.

Рассмотрим сначала систему второго порядка. Во всех вышеизложенных приемах мы приводили уравнения возмущенного движения к виду (36.1). Мы будем сейчас исходить из другого вида уравнений возмущенного движения, а именно: мы будем предполагать, что эти уравнения преобразованы к виду

= i%x + X{x,y), <У = ау+К(х, у), (42.1)

что всегда может быть выполнено при помощи линейного преобразования. Если уравнения, как это часто бывает на практике, были сразу заданы в виде (36.1), то для приведения их к виду (42.1) достаточно в качестве новых переменных принять величины х--/у их - гу.

Если уравнения движения приведены к виду (42.1), то переменные X и у будут комплексно сопряженными, и поэтому второе из этих уравнений может быть получено из первого заменой i на - г, X на у и у на X.

Для решения задачи устойчивости введем в уравнения (42.1) вместо переменных х и у переменные и и v при помощи подстановки

х = й-Нх«)(й, г>) + х(3)(«, г>)+

у = г; + у(2)(й, г>) + у(3) (к, г>)+ J

где х-) и у(-/) - некоторые формы у-го порядка, которыми мы по-• стараемся распорядиться таким образом, чтобы уравнения для и я v приняли вид



,.,„,+a(«i«-i.)=-X,."-".""+K"(«,»).

Здесь Aj при у четном равно нулю и А-"(«, v), К(»(й, v) - формы у-го порядка, зависящие от форм X** и к* и постоянных А, для которых b < /. Уравнения (42.4) дают возможность без всяких вычислений последовательно определять как формы х<- и yJ\ так и постоянные Aj.

В самом деле, допустим, что все формы х*, у<*) и постоянные А, для которых b <С J, уже определены. Тогда А*-(к, v) будет известной формой. Пусть

P+4 = J P+<1 = J

где - известные коэффициенты, а а - подлежащие определению. Тогда, приравнивая в первом уравнении (42.4) коэффициенты при «"г», получим, что при J четном коэффициент определяется но

(42.4)

Здесь Лу И Aj - некоторые подлежащие определению постоянные, причем Aj комплексно сопряжены с Aj. При таком условии второе уравнение (42.3) получится из первого заменой t на -i, и ш v н V на и, вследствие чего переменные и к v будут также комплексно сопряженными.

Подставляя в уравнения (42.1) вместо х и у их выражения (42.2) и принимая во внимание (42.3), получим:

(+ + -+ ...)(а«+Лз«2г.+ ...) +

= гЯ,(й + х(2)+ ...) + Х(«+ v4- ...),

= -a(o+j»+ ...)+!(»+ ...,,.+ ...).

Приравнивая в обеих частях совокупности членов одинаковых порядков, получим для нахождения форм х*- и yJl следующие уравнения:



формуле

Той же формулой определяются коэффициенты и при нечетном у, за исключением коэффициентаа, для которого p==-j(j-\-l), q=-{j-1). Для этого коэффициента получается уравнение

0.ар, = -Л,.+ Л, (р=1и), q = \{j~). (42.6) Следовательно, коэффициент а,, для которого p = {J-\-\),

q = {j-1), остается произвольным. Мы положим его равным

нулю. Вместе с тем уравнение (42.6) однозначно определяет величину Aj, для которой находим:

Aj = A (p = i(/+l), 9=(у 1)). (42.7)

Точно таким же путем определяются коэффициенты форм у<Л. Однако ни в вычислении этих коэффициентов, ни в составлении для них уравнений нет необходимости, так как в силу сопряженности переменных лг, у, а также переменных к и г», мы можем сразу писать:

Таким путем можно подсчитать любое число форм х<> и у(1\ а также постоянных Aj. Вычисления нужно производить до тех пор, пока мы не придем к постоянной А, с отличной от нуля вещественной частью. Дело в том, что знаком этой вещественной части и решается задача устойчивости.

В самом деле, пусть Aj - первая из постоянных Л3, А, .... вещественная часть которой отлична от нуля, так что

Лз = Шз, A = iB, .... А„ 2 = 1В, 2, A, = giB. (42.8)

где постоянные В. ..., В. g вещественны. Покажем, что при > О невозмущенное движение неустойчиво, а при < О оно устойчиво асимптотически. Преобразуем с этой целью уравнения (42.3) при помощи подстановки

и = г (cos * + / sin *), v = r (cos * - i sin &).

Будем иметь:

-g-(cos d + / sin d)-{-/ (cos * + / sin d) г=

= iXr (cos d + / sin d) 4- Лз/-з(cos d+ / sin «•) + ...

... --Л4Г*(созд--/з1пд)-1- ....



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0055