Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

(42.10)

Для решения задачи устойчивости мы можем теперь воспользоваться изложенным в предыдущем параграфе мefoдoм Ляпунова и привести систему (42.10) к системе второго порядка. Для этого нужно будет взять только первые два уравнения (42.10) и заменить Е них величины х, формальными решениями v,(x, у) уравнений с частными производными (41.9). При этом, вследствие того что уравнения возмущённого движения взяты в виде (42.10), а не в виде (40.1), вычисления значительно упрощаются.

где ненаписанные члены имеют порядок, больший k. При этом мы предполагаем, что в подстановке (42.2) ряды оборваны на членах k-TO порядка. Выделяя в полученном уравнении вещественные и мнимые части, найдем:

= *Я+ВзгЗ+ ... ... (42.9)

Все сделанные нами преобразования таковы, что задача устойчивости для исходных уравнений эквивалентна той же задаче для уравнений (42.9). Что же касается последней задачи, то она, очевидно, решается знаком величины g. Таким образом, наше предложение доказано.

Если бы Re(/lj) = 0 при любом k, то это свидетельствовало бы о том, что задача устойчивости не решается конечным числом членов. В этом случае начало координат было бы центром, невозмущенное движение было бы устойчиво, но не асимптотически.

Приведенный способ решения задачи устойчивости требует только составления уравнения (42.4) для последовательных приближений. Это может оказаться утомительным, если задача устойчивости решается членами высоких порядков. Однако такие выкладки приходится делать при любом способе решения задачи, после чего в других способах приходится либо вычислять громоздкие квадратуры (метод § 36), либо разрешать сложные системы линейных алгебраических уравнений (метод § 37).

Рассмотрим теперь систему (я--2)-го порядка. Уравнения возмущенного движения берем не в форме (40.1), как в предыдущем параграфе, а в форме

--iXx-Xix, у, Xi.....х„),

Й..-1%уУ{х, у, Xi.....х„),

(5=1.. 2.....ге).



Если в этих уравнениях положить:

xf= 2 ьху", xf= 2 <У.

p+q=k p+q=k

где B\f- известные, а ftpj- подлежащие определению коэффициенты, то будем иметь:

psk-[pss-ip-ч) 1цbf+...+ pj(+fiw о

(5=1, 2.....п).

Таким образом, для определения коэффициентов Ьр] мы получаем не систему из n{k-\- 1) уравнений, как это было бы, если бы мы пользовались уравнениями (40.1), а k-\-\ самостоятельных систем, состоящих из п уравнений каждая. Это, разумеется, вносит существенные упрощения в вычисления. Но этим дело не ограничивается Если пользоваться уравнениями в форме (40.1), то определители систем и (А - 1)-го порядка, определяющих коэффициенты Ьщ, будут разными для форм разных порядков, т. е. они будут зависеть от индекса k. Если же пользоваться уравнениями (42.10), то придется все время решать системы одного и того же порядка «, определители которых отличаются лишь диагональными членами. И если

является решением уравнений

psxc, + . . . + {pss - С,-4- ... + /7,„С„ + а, = О, (42.11)

выраженным явно через р,, то для формы о*) любого порядка k можно сразу писать:

vf = t S c,A{p-q)mBf,xy. j = l р+д-к

Таким образом, для нахождения всех форм vf> достаточно разрешить лишь одну систему и-го порядка (42.11), т. е. вычислить

в самом деле, уравнения (41.9) принимают сейчас вид

и вследствие этого уравнения (41.8), определяющие формы vf\x, у), имеют теперь вид



D0» =

Рп - г>

Р22 ~

Рпп -

и его миноры.

Отметим в заключение, что изложенный сейчас метод можно видоизменить таким образом, что можно будет сразу исходить из системы (35.1), не приводя ее предварительно к виду (42.10), т. е. не выделяя критических корней. Мы не останавливаемся, однако, на этом вопросе, отсылая интересующихся к уже цитированной работе).

Пример. Рассмотрим снова уравнение

-f- jc = а

dt }

2n + l

dx \2 dt )

исследованное уже в § 36. Здесь Р - аналитическая функция своих аргументов, разложение которой не имеет членов ниже второго

порядка относительно л: и Полагая 1, = х - > Ч -+ получим систему

- Ч + -wr - )" +

dt " 2 dt 22»

где F* - вещественная функция. Делая подстановку

= й + (2)(и, г,) + (31(м, v)+ ....

Ti = i/+Ti(2(tt, 1/) + т1(3(й, г)+ .... будем на основании (42.3) иметь:

V dv

.. , ( iXv-i- Auv- ...) = / (и +(2) +

•) +

.(u - v- .. .)2« + 1 ... г/+ ...).

Отсюда сразу видно, что все формы (2) (2я) получатся вещественными, а все числа А, А, Л2„ 1-чисто мнимыми. То же самое будет справедливо для форм и чисел А при

определитель



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019