Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

любом k, если только а = 0. Поэтому при а = 0 будем иметь устойчивость, но не асимптотическую.

Допустим, что а =7 0. Тогда уравнение для (2n+i) будет:

/ /)t(2n + l) е(2я + 1)\

А а --V ) = + 1р(.2п + 1) (и, V) -

где /=(24+1) - вещественная форма (2и+1)-го порядка. Приравнивая коэффициент при a+o", найдем:

Ке И2Я + 1; - 2/1 + 1--22"+!. л!

Следовательно, при а > О невозмущенное движение неустойчиво, а при а < О оно устойчиво асимптотически.

§ 43. Особенный случай.

Мы переходим теперь к рассмотрению особенного случая. Пусть dx

dt dy dt dx.

= - Xy + X{x, y. Xi..... x„).

Xx + Yix, y, Xi.....x„).

at = /511 + • • • + PsnXn 4- PsX 4- ЯзУ + Xs

(5=1, 2.....n)

(43.1)

суть дифференциальные уравнения возмущенного движения. Следуя установленному правилу решения задачи устойчивости, составляем уравнения с частными производными

(-1у-Х(х, у, Vi.....v„)) + ilx+Yix. у, Vi.....=

= PsiOi+ •• + Psnn-PsX-\-4sy + Xs(x. у, ©1.....v„). (43.2)

Этим уравнениям можно удовлетворить формальными рядами

(х. у) = v(p(х. у) + г>(2)(х,у)+... (43.3)

Ограничившись в этих рядах членами (т - 1)-го порядка, заменим полученными таким образом целыми рациональными функциями (х, у) величины х в первых двух уравнениях (43.1) и рассмотрим систему



второго порядка: dx

= - Ху-{-Х(х, у, .....©„),

•kx+Yix, у, V,.....V,).

(43.4)

Может оказаться, что при т достаточно большом задача устойчивости для системы (43.4) решается членами не выше т-то порядка. Это будет общий случай, рассмотренный выше. В этом случае задача устойчивости для системы (43.1) решается системой (43.4).

Но может случиться, что как бы велико ни было число т и, следовательно, как бы велико ни было число членов, взятых в рядах (43.3), задача устойчивости для системы (43.4) не решается членами порядка, не превосходящего т, т. е. что, изменив в этих уравнениях члены выше т-то порядка, можно получить по желанию как устойчивости, так и неустойчивость. Этот случай и является особенным. В особенном случае правило решения задачи устойчивости, установленное в § 41, неприменимо.

Однако, как мы сейчас покажем, и в особенном случае задача устойчивости для системы (43.1) эквивалентна задаче устойчивости для системы второго порядка (43.4). При этом предполагается, что в уравнениях (43.4) функции v,{x, у) обозначают не конечное число первых членов в рядах (43.3), а эти ряды целиком. Но тогда, очевидно, эти уравнения лишь тогда имеют смысл, когда указанные ряды сходятся. Будут ли эти ряды действительно сходиться?

Вопрос о сходимости рядов (43.3) разрешен А. М. Ляпуновым. Он показал, что эти ряды могут быть расходящимися. Об этом свидетельствует уравнение

-Ху-х (х2 + y2)J\1х-у{х + f)\ Ц = -для которого формальный ряд (43.3) имеет вид

Х,=:х2у2 (д.2 у2)2 2! (A:2-f y2)3-f 31 (д:2-f у2)4 4. ...

Этот ряд, очевидно, расходится.

Отсюда, однако, не следует, что ряды (43.3) всегда расходятся. Напротив, Ляпунов показал, что когда мы имеем дело с особенным случаем, то ряды (43.3) будут обязательно получаться сходящимися. Это замечательное предложение Ляпунова мы здесь приводим без доказательства.

На основании предложения Ляпунова уравнения (43.4) будут вполне определенными. И так как для них задача устойчивости не решается конечным числом членов, то иа основании результатов §§ 36-38, точка л; = у = О для уравнений (43.4) будет центром. Невозмущенное движение для уравнений (43.4) будет при этом



т = Я.(1+Й2с2 + йзСЗ+ ...уЧ, ЛГ = CCOST-j- c2jc<2(т)-(- .... у = csinT--с2у<2(т)--

(43.5)

где лг<** (т), у<* (т) - периодические функции т периода 2л, обращающиеся в нуль при т = О, hj - некоторые вполне определенные постоянные, ас - произвольная постоянная, являющаяся начальным значением величины лг. Все фигурирующие в (43.5) ряды сходятся при достаточно малом с.

Аналогичные обстоятельства имеют место в особенном случае и для полной системы (43.1), а именно: эта система также допускает периодическое решение, зависящее от одного произвольного постоянного), являющегося начальным значением величины х, и невозмущенное движение jc==y = JCi= ... =х„ = 0 для этой системы также устойчиво. При этом в указанном периодическом решении величины л; и у определяются формулами (43.5), а для величин х будем иметь:

x, = i/,(. У) 2, .... я). (43.6)

где vix, у) -функции (43.3).

Для доказательства заметим прежде всего, что если функции x=:x(t), у==у(0 являются каким-нибудь частным решением уравнений (43.4), то функции х = х (t), у = у (/). == [х (t), у (()] определяют частное решение уравнений (43.1). Действительно, подставляя эти функции в уравнения (43.1), мы на основании (43.2) и (43.4) убедимся, что они тождественно удовлетворяются. Отсюда непосредственно вытекает, что уравнения (43.1) обладают периодическим решением, определяемым формулами (43.5) и (43.6).

Покажем теперь, что для полной системы (43.1) имеет место устойчивость. С этой целью введем в этой системе вместо переменных лг, у, л:, переменные р, ф, , при помощи подстановки

X = р cos ф -- р2л:<2* (ф) + • • •.

У = р51пф+р2у(2>(ф) + . . .,

Xs = ls-i-s(x. у).

(43.7)

) Заменив в этом решении t на t-{-h, где Л - произвольное постоянное, мы получим периодическое решение, зависящее от двух произвольных постоянных.

устойчивым (не асимптотически), а их общее решение будет периодическим.

Это периодическое решение может быть представлено в виде



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0079